苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形备课ppt课件

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正方形的定义及其性质正方形的判定及特殊四边形间的关系
1. 正方形的定义　有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2. 正方形的性质如下表
3. 特别提醒　正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
特别提醒：1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
2. 正方形的特殊性质：(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大；(3)面积为边长的平方或对角线平方的一半.
如图，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 是对角线，AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，垂足为F．求BE 的长．
解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形，AC是对角线，∴ AB ⊥ BC，AB ＝ BC ＝ 1 cm，∠ ACB ＝ 45°．∵ EF ⊥ AC，∴△ EFC是等腰直角三角形．∴ FE ＝ CF．∵ AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，∴ BE ＝ FE ＝ CF．在Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，
解题秘方：紧扣正方形的性质，从中获取边、角的信息.
解法提醒：解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等等性质.正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙.
正方形的判定及特殊四边形间的关系
1. 正方形的判定如下表
常见的判定思路：(1)从四边形出发：①先证明四边形是平行四边形；②再证明平行四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形.
2. 特殊四边形间的关系四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示.
如图，在Rt △ ABC 与Rt △ ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD 相交于点G， 过点A 作AE ∥ DB 交CB 的延长线于点E， 过点B 作BF ∥ CA 交DA 的延长线于点F，AE，BF 相交于点H．
(1)证明：△ ABD ≌△ BAC；
证明：在Rt △ BAC 与Rt △ ABD 中，∠ ABC ＝∠ BAD ＝ 90°，AB=BA，AC=BD，∴ Rt △ BAC ≌ Rt △ ABD．
(2)证明：四边形AHBG 是菱形；
证明：∵ AH ∥ GB，BH ∥ GA，∴四边形AHBG 是平行四边形．∵△ ABC ≌△ BAD，∴∠ BAC ＝∠ ABD．∴ GA ＝ GB．∴平行四边形AHBG 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
(3)若AB ＝ BC，证明四边形AHBG 是正方形．
证明：∵ AB ＝ BC，∠ ABC ＝ 90°，∴△ ABC 是等腰直角三角形．∴∠ BAG ＝ 45°．∴∠ ABG ＝∠ BAG ＝ 45°．∴∠AGB＝90°．∴菱形AHBG是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
解题秘方：紧扣正方形的判定方法，先证明四边形是菱形，再证明有一个角为直角即可得到四边形是正方形．
思路点拨：(1)根据“HL”即可证明结论；(2)先证明四边形AHBG是平行四边形，再由(1)中的全等易得GA ＝ GB， 从而证明平行四边形AHBG 是菱形；(3)根据“△ABC是等腰直角三角形”，得出∠BAG＝ 45°，再由(2)可知“∠ABG＝∠BAG＝45°”，根据三角形的内角和定理易得∠AGB＝90°，最后根据判定2即可证明结论．
边、角、对角线、对称性
一组邻边相等且一个角是直角