资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩14页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
第六章 计数原理（知识详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第三册）
展开
这是一份第六章 计数原理（知识详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第三册），文件包含第六章计数原理知识详解高二数学知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第三册解析版docx、第六章计数原理知识详解-高二数学知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第三册解析版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第六章计数原理知识详解
知识网络
一、 两个计数原理
1. 分类加法计数原理：完成一件事，有类办法，
在第1类办法中有种不同的办法；
在第2类办法中有种不同的方法；
.....
在第类办法中有种不同的方法
那么，完成这件事共有中不同的方法.
例1．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口
A
B
C
志愿者
甲､乙､丙､丁
甲､乙､丙
丙､丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ）
A．14种 B．11种 C．8种 D．5种
举一反三
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ）
A．24 B．16 C．13 D．48
2．张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ）
A．7种 B．12种 C．14种 D．24种
2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，
做第1步有种不同的方法；
做第2步有种不同的方法；
.....
做第步有种不同的方法
那么，完成这件事共有种不同的方法.
例2．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
举一反三
1．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）
A．60 B．125 C．240 D．243
2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
3.（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1.排列
（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.
（3）排列数公式：
其中，并且
特殊的，当时，即有
称为的阶乘，通常用 表示，即
例3：1．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________
举一反三
1．5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ）
A．144 B．72 C．36 D．12
2．等于（ ）
A． B．
C．n!-4! D．
3．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
4．甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三，则不同的排法有（ ）
A．10种 B．11种 C．14种 D．16种
5．某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）
A．12 B．36 C．24 D．48
6．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
2. 组合：
（1）组合定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号 表示。
（3）组合数公式：
其中，并且， 规定
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
（4）组合数的性质：
例4．1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
2．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
3．党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
4．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
5．某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
6．某大学某系招收了4名专升本学生，现将这4名学生分配到该系的2个班，要求每个班至少分配一名学生，则不同的分配方案的种数为______．
三、二项式定理
1. 二项式定理：一般地，对于，有
.
右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中叫做二项展开式的第项（也称通项），用表示，即
如果在二项式定理中，设，则可以得到公式：
2. 一般地，
（1）
（2）
（3） 当为偶数时，
当为奇数时，
（4） （令）
（5） 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
（令）
例5：1．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
2．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
举一反三
1．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
2．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________
3．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
3．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
4．（2022·四川巴中·一模（理））的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知展开式中第三项的二项式系数是10，则___________，展开式中系数的绝对值最大的项是___________.
6．（2022·山东济南·二模）已知，则的值为______．
7．（2022·全国·模拟预测）（多选）下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在项 D．常数项为
微专题1 计数原理综合应用
1．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·湖南邵阳·一模）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
3．（2022·河南洛阳·一模（理））已知，则的展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
4．（2022·云南昆明·一模（理））抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各个，抽奖规则为：每次从中随机抽取个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为元的概率是__________．
5．（2022·江苏盐城·一模）计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，则，其中，当时，.若记中1的个数为，则满足的的个数为___________.
6．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知，则 __________；则 __________.
微专题2 杨辉三角的性质与应用
1．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，如图所示．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
A．110 B．114 C．124 D．125
2．（2021·湖北·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n()行的第3个数字为，则（ ）
A．220 B．186 C．120 D．96
专题3 常见排列组合解题策略
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
1．核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、、、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？
根据分步乘法计数原理，长度为的所有可能的不同分子数目有个.
2．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？
3．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
4．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．5个男同学和4个女同学站成一排，4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
6．有5名同学站成一排拍照．
若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
7．有5名男生，4名女生排成一排．女生必须相邻，有多少种排法？
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
8．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．800 B．5400 C．4320 D．3600
9．甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
10．4名护士和2名医生站成一排，2名医生不能相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．480 B．240 C．600 D．20
11．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
12．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
13．从个不同的文艺节目中选个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
14．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
15．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
16（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
17，8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
18，.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数
19，将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
20 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
21：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
22．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
七．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
23将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（数字作答）．
24．有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
25.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
八．相同元素的分配问题隔板法：
26：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
27， 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
28：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
29．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．21
.
30 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
十．排数问题（注意数字“0”）
31，（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
32．（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
33．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
34， 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
十二． 几何中的排列组合问题:
35．如图，的边上有四个点，边上有三个点，则以为顶点的三角形个数为______.
36．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？
（2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
强化训练
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
3．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知多项式，则（ ）
A．11 B．74 C．86 D．
5．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
6．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第三项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·全国·模拟预测）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
二、多选题
9．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2021·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（ ）
A．摸出4个红球的概率是
B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是
C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是
D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是
三、填空题
11．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）的展开式中项的系数为___________．
12．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.
13．（2022·上海虹口·统考一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）
14．（2023·福建·统考一模）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
四、解答题
15．（2022·江西九江·校考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求值．
16．（2022·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）（1）已知的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含的项的系数.
（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种?
第六章计数原理知识详解
知识网络
一、 两个计数原理
1. 分类加法计数原理：完成一件事，有类办法，
在第1类办法中有种不同的办法；
在第2类办法中有种不同的方法；
.....
在第类办法中有种不同的方法
那么，完成这件事共有中不同的方法.
例1．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口
A
B
C
志愿者
甲､乙､丙､丁
甲､乙､丙
丙､丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ）
A．14种 B．11种 C．8种 D．5种
举一反三
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ）
A．24 B．16 C．13 D．48
2．张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ）
A．7种 B．12种 C．14种 D．24种
2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，
做第1步有种不同的方法；
做第2步有种不同的方法；
.....
做第步有种不同的方法
那么，完成这件事共有种不同的方法.
例2．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
举一反三
1．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）
A．60 B．125 C．240 D．243
2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
3.（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1.排列
（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.
（3）排列数公式：
其中，并且
特殊的，当时，即有
称为的阶乘，通常用 表示，即
例3：1．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________
举一反三
1．5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ）
A．144 B．72 C．36 D．12
2．等于（ ）
A． B．
C．n!-4! D．
3．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
4．甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三，则不同的排法有（ ）
A．10种 B．11种 C．14种 D．16种
5．某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）
A．12 B．36 C．24 D．48
6．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
2. 组合：
（1）组合定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号 表示。
（3）组合数公式：
其中，并且， 规定
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
（4）组合数的性质：
例4．1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
举一反三
1．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
2．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
3．党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
4．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
5．某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
6．某大学某系招收了4名专升本学生，现将这4名学生分配到该系的2个班，要求每个班至少分配一名学生，则不同的分配方案的种数为______．
三、二项式定理
1. 二项式定理：一般地，对于，有
.
右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中叫做二项展开式的第项（也称通项），用表示，即
如果在二项式定理中，设，则可以得到公式：
2. 一般地，
（1）
（2）
（3） 当为偶数时，
当为奇数时，
（4） （令）
（5） 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
（令）
例5：1．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
2．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
举一反三
1．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
2．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________
3．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
3．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
4．（2022·四川巴中·一模（理））的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知展开式中第三项的二项式系数是10，则___________，展开式中系数的绝对值最大的项是___________.
6．（2022·山东济南·二模）已知，则的值为______．
7．（2022·全国·模拟预测）（多选）下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在项 D．常数项为
微专题1 计数原理综合应用
1．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·湖南邵阳·一模）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
3．（2022·河南洛阳·一模（理））已知，则的展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
4．（2022·云南昆明·一模（理））抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各个，抽奖规则为：每次从中随机抽取个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为元的概率是__________．
5．（2022·江苏盐城·一模）计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，则，其中，当时，.若记中1的个数为，则满足的的个数为___________.
6．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知，则 __________；则 __________.
微专题2 杨辉三角的性质与应用
1．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，如图所示．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
A．110 B．114 C．124 D．125
2．（2021·湖北·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n()行的第3个数字为，则（ ）
A．220 B．186 C．120 D．96
专题3 常见排列组合解题策略
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
1．核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、、、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？
根据分步乘法计数原理，长度为的所有可能的不同分子数目有个.
2．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？
3．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
4．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．5个男同学和4个女同学站成一排，4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
6．有5名同学站成一排拍照．
若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
7．有5名男生，4名女生排成一排．女生必须相邻，有多少种排法？
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
8．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．800 B．5400 C．4320 D．3600
9．甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
10．4名护士和2名医生站成一排，2名医生不能相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．480 B．240 C．600 D．20
11．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
12．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
13．从个不同的文艺节目中选个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
14．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
15．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
16（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
17，8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
18，.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数
19，将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
20 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
21：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
22．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
七．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
23将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（数字作答）．
24．有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
25.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
八．相同元素的分配问题隔板法：
26：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
27， 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
28：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
29．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．21
.
30 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
十．排数问题（注意数字“0”）
31，（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
32．（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
33．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
34， 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
十二． 几何中的排列组合问题:
35．如图，的边上有四个点，边上有三个点，则以为顶点的三角形个数为______.
36．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？
（2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
强化训练
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
3．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知多项式，则（ ）
A．11 B．74 C．86 D．
5．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
6．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第三项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·全国·模拟预测）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
二、多选题
9．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2021·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（ ）
A．摸出4个红球的概率是
B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是
C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是
D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是
三、填空题
11．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）的展开式中项的系数为___________．
12．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.
13．（2022·上海虹口·统考一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）
14．（2023·福建·统考一模）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
四、解答题
15．（2022·江西九江·校考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求值．
16．（2022·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）（1）已知的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含的项的系数.
（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种?
相关资料
更多
