第三章 圆锥曲线的方程（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册）

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第三章圆锥曲线的方程
一．椭圆
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
　　（2）；；；
　　（3）；；；
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长    长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a
题型一：椭圆的定义
例1：（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
题型二：椭圆的标准方程
例2：1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．

题型三：椭圆的焦点、焦距
例3：1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）
A． B． C． D．
题型四：椭圆的范围
例4：1．（2022·江西·二模（理））曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
题型五：椭圆的对称性
例5：1．（2022·河北邯郸·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（       ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
题型六：椭圆的顶点、长短轴
例6：1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（       ）
A．3 B．6 C．8 D．12
题型七：椭圆的离心率
例7：1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
题型八：椭圆的应用
例8：1．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（     ）
A． B．
C． D．

二．直线与椭圆的位置关系
1..点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；
在椭圆上的充要条件是.
2.直线与椭圆的位置关系.
设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，
则l与C相离的Δ0.
3.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k为直线斜率）形式(利用根与系数关系
（推导过程：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，


或者
。)
4.中点弦问题

关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则

由①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

题型二：椭圆的弦长
例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2．
(1)求椭圆的方程．
(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度．

题型三：椭圆的焦点弦
例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.

题型四：椭圆的中点弦
例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

题型五：椭圆中参数的范围及最值
例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

题型六：椭圆中的定点、定值问题
例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

题型七：椭圆的定直线
例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

题型八：椭圆中的向量问题
例8：（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．


三．双曲线
一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长    实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程


三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
题型一：双曲线的定义
例1：1．（2022·四川成都·三模（理））设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）．
A． B． C． D．
题型二：求双曲线的解析式
例2：1．（2016·全国·高考真题（理））已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
题型三：双曲线的焦点、焦距
例3：1．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
2．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
题型四：双曲线的范围
例4：1．（2021·广西·玉林市育才中学三模（文））函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（        ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
题型五：双曲线的对称性
例5：1．（2022·湖南衡阳·三模）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为（       ）
A．1 B．2 C． D．

题型六：双曲线的顶点、实轴、虚轴
例6：1．（2014·广东·高考真题（文））若实数满足，则曲线与曲线的
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
题型七：等轴双曲线
例7：1．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
题型八：双曲线的渐进性
例8：1．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
题型九：双曲线的离心率
例9：1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
2.（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
题型十：双曲线的应用
例10：1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（       ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
四．直线与双曲线的位置关系
1. 直线与双曲线的位置关系的判断
设直线 y=kx+b ，双曲 线 联立 消去y得A x 2 + B x+ C =0（a≠0），Δ= B 2 － 4 AC 。
若 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若Δ >0, 直线与双曲线相交，有两个交点；
若 Δ =0， 直线与双曲线相切，有一个交点；
若 Δ