专题强化训练三 导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立）-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版选择性必修第二册）

这是一份高中数学全册综合同步训练题，共58页。试卷主要包含了利用导数研究函数的单调性问题，利用导数研究恒成立问题，利用导数研究不等式问题等内容，欢迎下载使用。

强化训练三：导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立）
题型一、利用导数研究函数的单调性问题
1．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）已知.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间；


2．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.


3．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．















题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若是的极小值点，求的取值范围；
(2)若只有唯一的极值点，求证：.

5．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知函数
(1)若函数存在两个极值点，求的取值范围；
(2)若在恒成立，求的最小值.


6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）设函数．
(1)若是函数的极值点，求在上的最大值；
(2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值．

题型三、利用导数研究恒成立问题
7．（2023·全国·高二专题练习）若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
8．（2022春·安徽滁州·高二校考期中）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
9．（2021春·天津蓟州·高二校考期末）已知函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．



题型四：利用导数研究零点问题
10．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若关于x的函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
11．（2022春·青海海东·高二统考期末）已知函数在上有零点，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

题型五：利用导数研究函数性质和图像问题
13．（2022春·江苏扬州·高二江苏省江都中学阶段练习）已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
14．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知，若方程在上有唯一实根，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
15．（2022春·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（    ）
A． B．
C． D．

题型四、利用导数研究不等式问题
16．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数．
(1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围；
(2)讨论零点的个数；
(3)证明，，有．

17．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是函数的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
(3)利用（2）中的不等式证明：.


18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若在上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当时，．











专题强化训练
一、单选题(
19．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，则（    ）
A．是偶函数
B．曲线在点处切线的斜率为
C．在上单调递增
D．有一个零点
20．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）若对于，且，都有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
21．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是定义在上的可导函数,且满足,其中为的导函数.则对于任意,必有（    ）
A． B．
C． D．
22．（2023·全国·高二专题练习）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高二专题练习）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为（    ）．
A． B．
C． D．


24．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
25．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
26．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
27．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知对任意恒成立，其中为常数且，则（    ）
A． B．
C． D．
28．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）关于函数，下列判断正确的是（    ）
①是的极小值点
②函数有2个零点
③存在正实数，使得成立
④对任意两个正实数，，且，若，则
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③


29．（2022春·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ）
A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对
30．（2022·全国·高二假期作业）关于函数，下列判断正确的是（    ）
①是的极大值点
②函数有且只有1个零点    
③存在正实数，使得成立    
④对任意两个正实数，且，若，则
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
二、多选题
31．（2023秋·江苏南通·高二校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．的单调减区间是 B．的单调增区间是
C．的最小值是 D．恒成立
32．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ）
A．2 B．3 C． D．4
33．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数的两个极值点分别是，则（    ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
34．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，函数恰有两个零点
B．当时，不等式对任意恒成立
C．若函数有两个零点，则
D．当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为
35．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．若为增函数，则 B．若函数恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立 D．当时，恰有2个零点
36．（2022秋·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中）已知函数，则（    ）
A．的极大值为
B．的最小值为
C．当的零点个数最多时，的取值范围为
D．不等式的解的最大值与最小值之差小于
37．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续.当时，，则关于的不等式的解集可能为（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
38．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _____．
39．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知不等式恒成立，则的最大值为__________.
40．（2023·全国·高二专题练习）已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．
41．（2022秋·陕西汉中·高二校联考期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
42．（2022秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是___________.
43．（2023秋·山西太原·高二校考期末）已知，则使恒成立的的范围是______ ．
44．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是___________．

四、解答题
45．（2023秋·江苏宿迁·高二统考开学考试）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点且；
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．

46．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)证明：；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.

47．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

48．（2023·全国·高二专题练习）设，.
(1)设，讨论函数的单调性；
(2)若函数在有两个零点，，证明：.

49．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，为的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.

50．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，证明：．


51．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.

参考答案：
1．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，检验即可；
（2）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调递增区间即可；
【详解】（1）解：因为，
所以，依题意，即，解得，
此时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以.
（2）解：因为，
所以，，
则，
令，则或，
当时，令可得，
函数的单调递增区间为；
当时，令，可得或，
函数的单调递增区间为，；
当时，在上恒成立，
函数的单调递增区间为；
当时，令可得：或，
函数的单调递增区间为，；
综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，，
当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，.
2．(1)1；
(2)分类讨论，答案见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.
（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.
【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
3．(1)见解析.
(2)见解析.

【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.
（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.
【详解】（1）函数的定义域为：

当时，，的单调递增区间为
当时，当时，，的单调递增区间为；
           当时，，的单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为方程存在两个不同的实数解，
因此不为单调函数，所以，
令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，
，令，，
，
在上单调递增，且，
当时，，
，，

，
的单调递增区间为，、
，.
4．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解；
（2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可
【详解】（1）由可得，
当时，，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故是的极大值点，不符合题意，舍去；
当时，令，则或；
由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减，
故是的极大值点，不符合题意，舍去；
当时，，
①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去；
②若，即时，
当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
故是的极大值点，不符合题意，舍去；
③若，即时，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
故是的极小值点，符合题意.
综上所述，的取值范围.
（2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：，
设，，
设，，，
当，当，
于是在单调递增，在单调递减，
于是，
则由可得，
当，当，
且在单调递减，在单调递增，
那么，即证
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．(1)或
(2)

【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；
（2）在恒成立，即，转化为求的最大值，利用导数即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以
因为函数存在两个极值点，
所以有两个不同的解，
所以，解得或
（2）在恒成立，即恒成立，
令，则
因为，
设，
在上都递减，
所以在上递减，
所以，当时，，此时，在上递增，
当时，，此时，在上递减，
所以，
所以， 即
6．(1)
(2)或

【分析】（1）求出后，根据可求出，再利用导数可求出在上的最大值；
（2）根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，以及曲线在点处的切线方程，根据两直线重合列式可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为是函数的极值点，所以，得，
此时，，
当时，，当时,,
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以是的一个极小值点，所以符合题意.
由以上可知，在上为减函数，在上为增函数，
又，，
所以，
所以在上的最大值为.
（2）由（1）知，，所以，
又，所以切线，即，
假设直线与曲线切于，
因为，所以，又，
所以在处的切线方程为，即,
因为直线与直线重合，
所以，消去，得，
解得或.
7．A
【分析】不等式恒成立，等价于，不等式恒成立，构造函数证明恒成立，再转换推理即可得出答案.
【详解】解：，不等式恒成立，
等价于，不等式恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即恒成立，当且仅当时，取等号，
所以当时，，
当且仅当时，取等号，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又，
所以存在，使得，
存在，使得，
即方程有解，
因为不等式可以取到等号，
所以的最小值为，
所以，即，
所以实数m的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想及放缩思想，考查了逻辑推理能力和数据分析能力，有一定的难度.
8．B
【分析】将所求不等式变形为，令，，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】当时，由，可得，
不等式两边同时除以可得，
即，
令，，其中，，
所以，函数在上为增函数，且，由，可得，
所以，对任意的，，即，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：在求解有关x与的组合函数综合题时要把握三点：
（1）灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；
（2）把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；
（3）函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.
9．D
【分析】构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调性，结合基本不等式化简不等式，解二次型不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，，，
构造函数，则.
由得：
，
令，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以在区间上的最大值是，
所以，所以在上单调递减.

，
当且仅当，时等号成立，
所以，则，
，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题的难点有两个地方，一个是的单调性的判断，另一个是的最小值.对于函数单调性的判断，利用的是构造函数法，结合多次求导的方法来求得的单调性.而对于，是变型后利用基本不等式来求得最小值.
10．A
【分析】利用导数分析的单调性，结合函数是奇函数，数形结合即可求得参数的范围.
【详解】如图，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；时，；
又是R上的奇函数，，其函数图象如下所示：

的零点，即的根；
数形结合可知，有个根，故只需与的图象有一个交点即可.
即满足条件或，解得.
故选：A．
11．D
【分析】由参变量分离法可知关于的方程在上有解，令，利用导数求出函数的最小值，即为实数的最小值.
【详解】函数在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
即在上有解.
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，则，
即的最小值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
12．C
【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.
【详解】由题意得，
由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，
令，则需满足在上没有变号零点；
令，得，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时取得最小值，其大致图象如图：

要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得 在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.
13．D
【分析】由题设令，根据存在性将问题转化为在上有解，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令
则
即在上有解，
即在上有解
即在上有解，
设，，
则，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
而，
故在上的值域为，
故
即，
故选：D.
14．A
【分析】将已知转化为在上有唯一实根，构造函数，，研究函数，的图像与性质，数形结合即可得解.
【详解】由题可知，方程在上有唯一实根，
即在上有唯一实根，
设，，
显然函数在上为增函数，，，即
函数在上为增函数，，，即
即函数的图像与函数的图像在上有唯一交点，
又在上为减函数，在上为减函数，
且，，故存在使得
所以在时增长的比缓慢，在时增长的比快速，
故即函数的图像与函数的图像在上有唯一交点，如图
需满足，即，解得
故选：A

【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法：
（1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题.
15．A
【分析】先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集.
【详解】由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称.
令
时，，时，
函数在上单调递增
当时，，即
设，
即函数在上单调递减，则，即
故在上恒成立
结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示

由图象可知，不等式在上的解集为
故选：A
16．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知满足不等式的整数只有两个，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；
（2）考查直线与函数图象相切时实数的值，数形结合可得出实数在不同取值下函数的零点个数；
（3）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，由以及函数的单调性可证得所证不等式成立.
【详解】（1）解：令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，且当时，；当时，.
由可得，作出函数、的图象如下图所示：

因为有且只有两个整数，使得，
则满足不等式的整数只有两个，所以，
解得.
（2）解：考查当直线与函数相切时，实数的值，
设切点坐标为，则切线斜率为，
所求切线方程为，
即，
所以，，解得或，
当时，；当时，.
如下图所示：当时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有个公共点；
当或时，直线与函数的图象只有个公共点；
当时，直线与函数的图象无公共点.
综上所述，当时，函数无零点；
当或或时，函数只有个零点；
当或时，函数只有个零点.

（3）证明：不妨设，构造函数，其中，
因为，
，
令，其中，则且不恒为零，
故函数在上为增函数，
因为，故，
所以，，故，
所以，函数在上为减函数，
故当时，，
因为，则，
因此，、且，有.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
17．(1)答案见解析
(2)（答案不唯一，符合题意即可）
(3)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调性，分、两种情况讨论；
（2）根据题意可求得，结合单调性求其最值可得不等式；
（3）根据不等式，令运算整理即可.
【详解】（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，
可得，
令，可得或，
若，则当时，，当时，，
所以上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增.
（2）由函数且，可得，
因为，可得，
解得或（与矛盾，舍去），
故
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得最小值，最小值，即，
故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立.
（3）由（2）知当时，有成立，
令，则
整理得，，
所以.
18．(1)
(2)证明过程见详解

【分析】(1)分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；
(2)结合（1）的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明.
【详解】（1）当时，，当时，，不符合题意；
当时，，又时，，不符合题意；
当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，
则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.
（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，
所以当时，，即，又当时，，
所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，有时可以构造一个函数，借助单调性进行求解.
19．D
【分析】选项A由定义域就可以判断，B，C，D选项通过对函数求导逐一分析即可.
【详解】由函数的定义域为，不关于原点对称，
故非奇非偶函数，故A错误，
因为，
所以，
即在点处切线的斜率为，故B错误，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以函数在有增有减，故选项C错误，
由C选项知在上单调递减，在上单调递增
且，所以当，，
当，，
故函数只有唯一一个零点，故选项D正确，
故选：D.
20．B
【分析】将变形为，可构造函数，并判断在上单调递增，利用导数求得的单调增区间，即可求得答案.
【详解】因为是R上的增函数，故当，时， ，
若有 ，
即 ，即，
即，
令，则在上单调递增，
又，令，得，则的单调增区间为，
故，即有，
故的取值范围是，
故选：B
21．C
【分析】构造函数,求导判断单调性,进而判断的大小关系,代入即可得出选项.
【详解】解:由题知,,
当时,，构造,
则 ,
故在上单调递减,
因为,所以,
所以，即，而，无法判断大小；
，即.
故选:C
22．B
【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为奇函数，且，，
当时，，
所以，函数在上为增函数，
因为函数为奇函数，故函数在上为增函数，
由可知，当时，，可得；
当时，，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
23．A
【分析】利用不等式构造新函数，根据偶函数的性质，结合新构造函数的单调性进行求解即可.
【详解】设，则，
当时，，
即在上单调递减，而，
所以，
故是偶函数，所以在上单调递增，
因为，
所以，
即．
故选：A
【点睛】关键点睛：利用不等式构造新函数是解题的关键,
24．B
【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．
【详解】解：依题意令，则，
所以在上单调递减，
对于不等式，显然，则，即，
又，所以，
所以，即，
所以，
解得，即关于的不等式的解集为.
故选：B．
25．C
【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.
【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，
所以，
即有两解，
所以有两解，
令，
则，
所以当时，0，此时函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
且时，的值域为，
时，的值域为，
因此有两解时，实数的取值范围为，
故选：C.
26．A
【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构造函数，探讨其性质即可作答.
【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得，则，
当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，
令，求导得：，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两个，
于是得，所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.
27．C
【分析】首先求得；当时，可知单调递增，分别在和的情况下，说明存在的区间，可知不合题意；当时，根据单调性可求得最小值，由可整理得到结果.
【详解】由题意知：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，且；
若，即，则当时，，不合题意；
若，即，则，，
，使得，则当时，，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
，
若恒成立，则，即；
综上所述：且.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够将问题转化为，从而分别在和的情况下讨论的单调性，进而由单调性确定最小值.
28．A
【分析】求出的导函数，可判断是否其极小值点，可判断①；求的导数，判断其单调性可判断②；分离变量法之后求函数的最小值是否为正可判断③；根据题意先得到然后再消去后，得到一个关于的表达式为正，证明其正确即可.
【详解】①：当是极小值点，①对；
②：对于恒成立，所以在上单调，不可能有2个零点，故②错误；
③：令，令，

所以在上恒成立，所以在上单调递减无最小值，
又所以，故正数不存在，故③错误；
由上面分析知：单调递减；单调递增，

设
，即单调递减，
成立，，
所以④对.
故选：A
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
29．C
【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可
【详解】因为函数有两个零点，
所以有两个根，即，
设，，
当时，解得，函数单调递增；
当时，解得，函数单调递减，
，
当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷，
所以当时，与有两个交点，故①正确；
由此可知，
因为，
若，即.
即证，
当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.
故选：C
30．C
【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；
对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；
对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；
对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.
【详解】解：对于①，由，求导得，
令，解得，可得下表：










极小值


则为函数的极小值点，故①错误；
对于②，由，
求导得：，
则函数在上单调递减，
当时，，
当时，，
由，故函数有且只有1个零点，故②正确；
对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，
令，求导得，
令，则，
在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
，，
在上单调递减，无最小值，
不存在正实数，使得恒成立，故③错误；
对于④，令，则，，
令，
则，
在上单调递减，则，即，
令，由，且函数在上单调递增，得，
则，当时，显然成立，故④正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度.
31．BC
【分析】求导后，根据的正负可得的单调性，结合单调性可确定最小值，由此可确定各选项正误.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
的单调减区间为，单调增区间为，A错误，B正确；
，C正确；
，不恒成立，D错误.
故选：BC.
32．BC
【分析】利用导函数判断的单调区间进行求解即可.
【详解】的定义域为，所以，A错误；
由题意可得，令解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为在区间上不单调，所以，即，
选项B：当时，，正确；
选项C：当时，，
所以，正确；
选项D：当时，，错误；
故选：BC
33．BD
【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可.
【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根，
即在上有2个不等的实根，则解得，A错误；
由韦达定理，得，当时，，B正确；
，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以恒成立，C错误；
，
令，
令，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，.
所以，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.
34．BCD
【分析】选项A分离参数，构造函数，求导，根据导数与单调性的关系，结合题意判断即可，选项B由选项A可知，当时，由，整理可得，对任意恒成立，选项C利用对数运算，换元，构造新函数，对新函数求导，利用分析法证明即可，选项D，不等式变形得到，令，根据函数单调性，将问题转化为，利用函数导数求的最小值即可.
【详解】选项A，由，令，
设，
则，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
所以当，，当，，
所以的图形如图所示：

由图可知，函数恰有两个零点时，
即与有两个不同的交点，此时，
故A不正确，
选项B，由选项A，，
当时，，
即对任意恒成立，故B正确，
选项C，由函数有两个零点，
即为方程的两根，
即，
所以，令且，
则，
所以，
欲证，即证，
即证明，
只需证明，
只需证明，
即，
设，
则，
令，
所以
，
所以在上为增函数，
又，所以，
综上所述，原不等式成立，故，
故C正确，
选项D，当时，，
则不等式对恒成立，
即，
即，
即，
令，当时，单调递增，
所以，
所以对任意恒成立，
即求在上的最小值，
由，
当时，，当在时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，而，
所以，所以的取值范围是：，
故选：BCD.
35．ABD
【分析】直接逐一验证，根据导数判断单调性，求出的范围，判断A；利用参数分离法构造新函数，根据函数的单调性，极值，最值判断B，C；通过构造新函数，转化为两个函数的交点个数来解决零点问题，判断D.即可求出答案.
【详解】对于函数，求导得：函数.
对于A：要是在上为增函数，只需恒成立.
只需.
记，则
令，解得：或；令，解得：.
所以在上单减，在，上单增.
而，
所以，所以.故A正确；
对于B：若函数在恰有一个极值，即在恰有一个解，
即在恰有一个解，则在恰有一个解.
即和的图像在恰有一个交点.
由A的讨论可知，在上单减，在，上单增，且，.
而，，.
所以作出的图像如图示：

由图可知，当时， 和的图像在恰有一个交点，即函数函数恰有一个极值.故B正确；
对于C：要使恒成立，即在上，恒成立，
即在上， 恒成立.
设，则.
令，解得：.
列表得：







-
0
+
0
-

单增

单减

单增

所以.所以.故C错误；
对于D：当时， .
令，则.
作出函数和函数的图像，如图示：

可知在内，两个图像，恰有2个交点，则在恰有2个零点.故D正确.
故选：ABD
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式．
36．ACD
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值、最值，即可判断A、B，再根据函数的极值及零点求出参数的取值范围，即可判断C，再根据特殊值判断D；
【详解】解：因为，
所以.
当或时，；当或时，.
即在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数在取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，
故的极大值为，的最小值为，故A正确，B错误.
所以零点个数最多为，此时，，解得，C正确.
不等式，即，令，则
.
当或时，；当或时，.
即在和上单调递减，在和上单调递增，
所以的函数图象如下所示：

因为，，
则的解的最大值与最小值之差小于，
即不等式的解的最大值与最小值之差小于，D正确.
故选：ACD
37．BC
【分析】通过条件，将导数还原为和，其导数分别为，，分别分析两个函数的单调性和零点情况，从而判断出函数当时，和当时，，从而推断出时，的解集可能为，其中，通过奇函数以及选项是否符合得到答案.
【详解】因为当时，，且，
而可以令，则
可以令，则
所以，
因为，所以令，则，令，则
所以在上递减，在上递增，且当时，
所以当时，
因为，，
故令，则
又因为，所以，故在上递增
设，所以在上递减，在上递增
且当时，（舍）或
所以当时，，
所以当时，的解集可能为，其中，
又因为是奇函数，所以的解集可能为.
而，所以，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误.
故选：BC
38．．
【详解】问题化为在上有根，令，由导数求得在上的值域即得．
【解答】若关于x的方程在上有根，即在上有根，
令，则，
时，，时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以，
若使在上有根，
则．
故答案为：．
39．
【分析】法一：利用同构得到，即，构造，，利用导函数求出其最小值，得到；
法二：先代入求出，再构造函数，证明其必要性即可.
【详解】法一：变形为，
构造，定义域为，
则在上恒成立，
所以在单调递增，
故，两边平方后变形得到，
构造，，
则，当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
可知，故，
的最大值为；
法二：中令得：，
解得：，
当时，只要证，，
其中，显然成立，
以下是证明过程：构造，，
，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，，
只要证，即，由于，
故只要，
构造，，
则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，，
综上：可得的最大值为.
故答案为：
【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
40．
【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，恒为正，
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
画出的图象如下：

要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，
显然当时，符合要求.
故答案为：
41．
【分析】原命题等价为，由导数法求，最大值即可.
【详解】令，，则，
∵，故，故在上单调递减，
故，故.
故答案为：
42．
【分析】利用转化法，结合导数的性质、数形结合思想、分类讨论思想进行求解即可.
【详解】由于，方程等价于，即依题意与图象有四个交点，令，
若，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当 ，取最大值，
，
若，，
当当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当，的最小值，
，
函数的图象如下图所示：

所以与的图象有四个交点时，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用转化法，结合导数的性质是解题的关键.
43．
【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答.
【详解】因，令，，依题意，，
当时，，求导得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，求导得，在上单调递减，
，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
44．
【分析】分析可得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，利用参量量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由题意可知，由可得，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
由可得，则，即，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
因此，实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最大值，解题的关键在于将不等式变形为，结合指对同构的思想构造函数，利用函数的单调性进行求解.
45．(1)答案见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调性即可；
（2）（i）利用单调性及零点存在性定理求解即可；（ii）要证明，只需证明，构造函数，不妨设一元二次方程的两根为且，则，对称轴为，再利用（1）中结论证明，即可.
【详解】（1）由题意可得的定义域为，，
当时，恒成立，在单调递增，
当时，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
（2）（i）由（1）可得当时，在单调递增，此时至多有一个零点，故，
若函数有两个零点，则，解得，
又，，
令，所以，在单调递减，
所以，即，
所以当时，在，上各有一个零点.
（ii）要证明，只需证明，
由（i）可知，令，，
所以为的两个零点，
构造函数，因为，
所以有两个零点，不妨令，开口向上，对称轴为，且，
由（1）可得，即，
又，所以，即，所以，
同理可得，所以，
所以，即.
【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，本题的关键是将不等式变形为，再构造函数，利用一元二次方程的两根之差的绝对值得到，再利用（1）中结论放缩即可求解.
46．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）令，利用导数分析函数的单调性，可得出，即可证得结论成立；
（2）令，其中，由题意可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）证明：令，，，
，由可得，由可得.
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，故原不等式得证.
（2）解：当时，由可得，
令，其中，
由题意可知对任意的恒成立，
，且，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
故函数在上为增函数，则且不恒为零，
故函数在上为增函数，则，合乎题意；
②当时，即当时，，
，
所以，存在，使得，
当时，，则，此时函数单调递减，
则当时，，即，故函数在上单调递减，
所以，，不合乎题意.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于通过构造函数，且注意到，转化为恒成立，在确定导数符号时，本题需要二次求导，需要注意每次求导时函数单调性与导数之间的关系.
47．(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.
（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.
【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
48．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】(1)对函数求导，然后分和两种情况讨论导函数与零的大小关系，进而判断函数的单调性；
(2) 令，根据题意可得：，不妨设，令，要证即证，把问题等价转化为证明：，构造函数，利用导数即可证明.
【详解】（1），，
时，，当时，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数；
时，令，得，
当，即时，
当或时，，是单调增函数，
当时，，是单调递减函数，
当，即时，
当或时，，是单调增函数，
当时，是单调递减函数，
当，即时，，在上是单调增函数，
综上所述：时，在是单调递增函数，在上是单调递减函数；
时，在，上是单调增函数， 在是单调递减函数，
时，在， 上是单调增函数， 在是单调递减函数，
时，在上是单调增函数.
（2）令，因为，所以，
令， ，所以有
， ①
不妨设，令，则，，
代入①得：，反解出：，则，
故要证即证，又因为，
等价于证明：，
构造函数，
则，，
故在上单调递增，，
从而在上单调递增，.
即.
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
49．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求出，当时，方程的根为，分、、讨论即可；
（2）转化为存在实数使得恒成立，令，则，时由导数判断函数在上单调递增，且存在使得，可得，原命题可转化为存在使得在上成立，结合求出，存在，使得成立，令，由导数得可得答案.
【详解】（1），则，
当时，方程的根为，
当，即时，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即时，恒成立，函数在上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，
令，则，
因为，当时，恒成立；当时，，函数在上单调递增，且，，
所以，存在，使得，且在上单调递减，
在上单调递增，所以，
于是，原命题可转化为存在使得在上成立，
又因为，所以，
所以存在，使得成立，
令，，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以.
【点睛】思路点睛：在第二问中，转化为存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，再构造函数令，则，
考查了学生分析问题、解决问题以及运算能力.
50．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）构造，利用导数的性质判断的单调性进行求解即可；
（2）构造，利用导数的性质判断的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）记．
则恒成立，即．

当，当，
在上单调递增，在上单调递减．
．解得．
实数的取值范围是；
（2）记．
在上单调递增．
令，
则，所以即在上单调递增．
由，知．
．即，
当单调递减；当单调递增．
，
由（*）式，可得．
代入式，得．
由（1）知，当时有，
故．．
由．
故，即，原不等式得证．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
51．(1)，无极小值
(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，令得，列表判断两边的导函数符号，进而可得答案；
（2）当时，设函数的两个极值点为，，可得，是方程的两根，则，，令，构造函数，，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时，，
则
令，得，
列表：





+
0



↑
极大值
↓

所以，无极小值.
（2）
，
当时，设函数的两个极值点为，所以，是方程的两根，
则，，
不妨设，则



要证：，只要证：
只要证： 只要证： 只要证：
只要证： 令，，，即证：，
因为，所以在上单调递增，
所以，所以，得证.