北师大版数学八年级上册勾股定理（提高）知识讲解 (含答案)

勾股定理（提高）

【学习目标】

1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

     （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．

（3）理解勾股定理的一些变式：

，， ．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

　　　 图（1）中，所以．

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

　　　　 　　图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

　　　　   ，所以．

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3． 与勾股定理有关的面积计算；

4．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

类型一、与勾股定理有关的证明 

1、在△ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证：
【答案与解析】

证明：作等腰三角形底边上的高AE
　　  ∵AB=AC，AE⊥BC

∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°

∴

【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．

类型二、与勾股定理有关的线段长

2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

【答案与解析】

解：连接BD，

∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，

∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，

∴∠C=45°，

∴∠ABD=∠C，

又∵DE丄DF，

∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，

∴∠FDC=∠EDB，

在△EDB与△FDC中，

∵，

∴△EDB≌△FDC（ASA），

∴BE=FC=3，

∴AB=7，则BC=7，

∴BF=4，

在Rt△EBF中，

EF2=BE2+BF2=32+42，

∴EF=5．

【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．

举一反三：

【变式】（2020春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长．

【答案】

解：∵PA⊥OA，∠C=30°，

∴PC=2PA=4，

∴BC=BP+PC=11+4=15，

∵PB⊥OB，∠C=30°，

设OB=x，则OC=2x，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：

x+15=（2x），

解得，x=5，

即OB=5，

∴OP===14．

类型三、与勾股定理有关的面积计算

3、（2020•丰台区二模）问题背景：

在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．

小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你直接写出△ABC的面积　      　；

思维拓展：

（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．

【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．

【答案与解析】

解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：

S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC

=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3

=4.5，

故答案为：4.5；

（2）如图2的△MNP，

S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP

=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1

=7，

即△MNP的面积是7．

【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．

举一反三：

【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（　　）　

A．17　　　B．36　　　C．77　　　　D．94

【答案】C

类型四、利用勾股定理解决实际问题

4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．

【答案与解析】

解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，

AB==24（米），

答：这个梯子的顶端距地面有24米；

（2）由题意得：BA′=20米，

BC′==15（米），

则：CC′=15﹣7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．

【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．

举一反三：

【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)

【答案】

解：如图②所示，由题意可得：

    ，

    在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：

    则AB＝15．

    所以需要爬行的最短路程是15．