高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用课时训练

6.3.3空间角的计算

知识点01  空间角

注意：

（1）求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题.

（2）两平面所成的角的范围是[0,] ，二面角的范围是[0,π].

（3）二面角与两平面的夹角不是相同的概念.

【即学即练1】在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点．则异面直线与所成角的余弦值是（    ）．

A． B． C． D．

【即学即练2】在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ）

A． B．

C． D．

◆考点01 向量法求异面直线所成的角

◆类型1求异面直线所成的角

【典例1】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.

(2)求直线与所成角的余弦值.

【典例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，

(1)求证：；

(2)求MN与BP所成角的余弦值；

(3)求NQ的长.

◆类型2已知异面直线所成的角求其他量

【典例3】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ）

A． B． C． D．

◆考点02向量法求直线与平面做成的角

【典例4】若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______.

【典例5】图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ）

A． B． C． D．

◆考点03 向量法求面面角

◆类型1 向量法求面面角

【典例6】如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，若，，，则截面与底面所成二面角的余弦值是（    ）

A． B．

C． D．

【典例7】如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点.

(1)证明：平面.

(2)求平面ADE与平面夹角的余弦值.

◆类型2 已知面面角求其他向量

【典例8】如图1，在中，是直角，，是斜边的中点，分别是的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．

(1)求证：平面；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时．求的值．

条件①：；条件②：．

【典例9】如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,,

(1)求证:平面平面PBC;

(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

2．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥与，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

3．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ）

①∥平面；    ②平面平面；

③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．下列说法正确的是（    ）

A．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于

B．二面角的大小范围是

C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角

D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

二、多选题

6．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为1 B．平面EFG

C．平面EFG D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为

7．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则（    ）

A．⊥ B．是等边三角形

C．AB与平面BCD所成的角为60° D．AB与CD所成的角为90°

8．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（    ）

A．该几何体是四棱台

B．该几何体是棱柱，平面是底面

C．

D．平面与平面的夹角为

三、填空题

9．在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于___________．

10．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题：

①四点共面；

②三棱锥的体积与的取值有关；

③当时，；

④当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为.

其中正确的有__________（填写序号）.

四、解答题

11．如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．

(1)求证：平面；

(2)当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

12．如图:正方体ABCD - A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.

(1)证明:D₁F⊥平面AEG;

(2)求直线BB₁与平面AEG所成角的正弦值.

13．如图，在平行四边形ABCD中，，，四边形ACEF为矩形，平面平面ABCD，，点G在线段EF上运动．

(1)当时，求的值；

(2)在（1）的条件下，求平面GCD与平面CDE夹角的余弦值．

14．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．如图所示，在三棱柱中，是等边三角形，平面，，，，分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．0

2．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

3．将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面

B．平面与平面所成角的余弦值为

C．与所成的角为

D．与所成的角为

4．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ）

A．平面 B．异面直线与所成的角为30°

C．平面平面 D．平面平面

5．在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（     ）

A．的长为

B．直线与AC所成角的余弦值

C．的长为

D．直线与BC所成角的余弦值

二、多选题

6．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

7．已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（    ）

A．当是线段中点时，与所成角为60°

B．直线与可能垂直

C．直线与可能平行

D．异面直线与所成最小角的余弦值是

8．（多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合），下列说法正确的是（   ）

A．三棱锥的四个面都是直角三角形

B．三棱锥的体积最大值为

C．在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直

D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点

三、填空题

9．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为________．

10．如图，二面角的大小为，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，则__________.

11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是___________.

12．如图，正方体的棱长为，分别是棱的中点，过点的平面分别与直线交于点，为侧面（含边界）上的一个动点.给出以下命题：

①四边形一定为菱形；

②四棱锥的体积为定值；

③平面与平面所成的角不大于；

④的最小值为.

其中正确命题的序号是______.

四、解答题

13．如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的大小.

14．如图所示为圆锥，已知其侧面的展开图是圆心角为，面积为的扇形.

(1)求圆锥的体积；

(2)设和是底面圆周上两点，且平面平面，求二面角的余弦值.

15．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2.

(1)求点D到平面的距离；

(2)若，求二面角的大小.

题组C  培优拔尖练

一、多选题

1．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在某个位置，使得

B．不存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得平面平面

D．存在某个位置，使得

2．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵中，是的中点，，若平面α过点P，且与平行，则（    ）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．三棱锥的体积是该“堑堵”体积的

C．当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于

D．当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于

二、解答题

3．四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面.

(1)证明：；

(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.

4．已知三棱台的体积为，且，平面.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求二面角的正弦值.