【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.3.3空间角的计算 讲义

这是一份【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.3.3空间角的计算 讲义，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册633空间角的计算原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册633空间角的计算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。


注意：
（1）求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
（2）两平面所成的角的范围是[0,π2] ，二面角的范围是[0,π].
（3）二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
【即学即练1】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱DD1的中点．则异面直线EF与BD1所成角的余弦值是（ ）．
A．23B．223C．34D．36
【即学即练2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，如图所示，侧棱AA1⊥底面ABC，点D1是A1B1的中点，E1是A1C1的中点，∠BCA=90°,BC=CA=2,CC1=3，则BD1与AE1所成角的余弦值是（ ）
A．3010B．411055
C．3015D．611055
能力拓展
◆考点01 向量法求异面直线所成的角
◆类型1求异面直线所成的角
【典例1】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点.
(1)证明：AF//平面A1B1C1D1.
(2)求直线EC与AF所成角的余弦值.
【典例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，
(1)求证：MN⊥B1C；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.
◆类型2已知异面直线所成的角求其他量
【典例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=3,AD=4,M是线段PA的中点，N是线段PC上一点（不与P,C两点重合），且PN=λPC．若直线MN与BD所成角的余弦值是22121，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
◆考点02向量法求直线与平面做成的角
【典例4】若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的余弦值为______.
【典例5】图1是中国古代建筑中的斗拱结构，OB，OC是互相垂直横梁，OD是与横梁垂直的立柱，从柱顶O上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱OA.在某古代建筑中OB=OC=OD（图2），记cs=k1，cs=k2，cs=k3，OA与平面BCD所成角的余弦值为17，则k1+k2+k3=（ ）
A．37B．337C．127D．1237
◆考点03 向量法求面面角
◆类型1 向量法求面面角
【典例6】如图，是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH所截得的几何体，若AB=2，BF=DH=2，CG=3，则截面EFGH与底面ABCD所成二面角的余弦值是（ ）
A．66B．63
C．33D．32
【典例7】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，4AA1=3AB，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.
(1)证明：AD∥平面C1EF.
(2)求平面ADE与平面C1EF夹角的余弦值.
◆类型2 已知面面角求其他向量
【典例8】如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，CA=CB=22，P是斜边AB的中点，M，N分别是PB,PC的中点．沿中线CP将△CAP折起，连接AB，点Q是线段AC上的动点，如图2所示．

(1)求证：MN//平面ABC；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q-MN-C的余弦值为33时．求AQAC的值．
条件①：BP⊥AC；条件②：AB=AC．
【典例9】如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=BD=1,AB=2
(1)求证:平面PBD⊥平面PBC;
(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角M-BD-C的大小为60∘,若存在求出PMMC的值;若不存在,请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
2．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形AnBnCnDn(n=1,2,3)的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn,Qn，将极点P1,Q1分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记为Em,Fm(m=1,2,3,4)，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥A1-P1E1P2E2与A2-P2E1P3F1，则直线Q1B2与平面A1E2P2所成角的正弦值为（ ）
A．63B．223C．62D．23
3．在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M在BB1上BM=2MB1，点N在AC上且AN=2NC，则异面直线A1M与NB所成角的正切值为（ ）
A．3B．346C．63D．344
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D，D1B的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①MN∥平面ABCD； ②平面A1ND⊥平面D1MB；
③直线MN与B1D1所成的角为45°； ④直线D1B与平面A1ND所成的角为45°．
A．1B．2C．3D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．二面角的大小范围是[0,π]
C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
二、多选题
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥C-EFG的体积为1B．A1C⊥平面EFG
C．A1D1//平面EFGD．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为36
7．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（ ）
A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为60°D．AB与CD所成的角为90°
8．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3，FC=4，BC=1，下列说法不正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，平面ABCD是底面
C．EG⊥HC
D．平面EFGH与平面ABCD的夹角为45°
三、填空题
9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且BC=3,AC=4,CC1=3,点P在棱AA1上,且三棱锥A-PBC的体积为4,则直线BC1与平面PBC所成角的正弦值等于___________．
10．在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q=λD1A1，λ∈0,1，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C,M,N,Q四点共面；
②三棱锥A-DMN的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC=90°时，λ=0；
④当λ=12时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的面积为5+322.
其中正确的有__________（填写序号）.
四、解答题
11．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA,BD上，且PMPA=BNBD=λ0<λ<1．
(1)求证：MN∥平面PBC；
(2)当λ=12时，求平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值．
12．如图:正方体ABCD - A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.
(1)证明:D₁F⊥平面AEG;
(2)求直线BB₁与平面AEG所成角的正弦值.
13．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=22，∠ABC=π4，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF=1，点G在线段EF上运动．
(1)当AE⊥DG时，求FGEF的值；
(2)在（1）的条件下，求平面GCD与平面CDE夹角的余弦值．
14．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，AD∥BC，AD=2BC=22，AB=3，∠ABC=90°，△ADE是等边三角形．现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥E-ABCD（如图2）且EC=3．
(1)求证：平面EAD⊥平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足EFEB=13，求二面角E-AD-F的余弦值．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=2，D，E，F分别是BB1，AA1，A1C1的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值为（ ）
A．12B．22C．-12D．0
2．如图，已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成60°的二面角，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为（ ）．
A．14B．12C．52D．54
3．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到如图所示的三棱锥A-BCD，其中O为BD的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．BD⊥平面AOC
B．平面ABC与平面BCD所成角的余弦值为33
C．AC与BD所成的角为90∘
D．AD与BC所成的角为30∘
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．AB1⊥平面A1BC1B．异面直线AB1与A1C1所成的角为30°
C．平面AB1D1∥平面BC1QD．平面B1CD⊥平面B1DP
5．在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA'的长为b，且∠A'AB=∠A'AD=120°.则（ ）
A．A'C的长为 2a2-2ab+b2
B．直线B'D与AC所成角的余弦值a4a2+2b24a2+2b2
C．BD'的长为2a2+b2
D．直线B'D与BC所成角的余弦值a-12b2a2+b2
二、多选题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（ ）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是45∘,90∘
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63
7．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在正方体棱AD上移动，则下列结论成立是（ ）
A．当F是线段AD中点时，B1C与EF所成角为60°
B．直线B1C与EF可能垂直
C．直线B1C与EF可能平行
D．异面直线B1C与EF所成最小角θ的余弦值是105
8．（多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形
B．三棱锥P-ABD的体积最大值为1254
C．在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直
D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点
三、填空题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BB1的中点，过D1，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形Γ，则Γ在顶点D1处的内角的余弦值为________．
10．如图，二面角α-AB-β的大小为60∘，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若PM=2,MN=3,NQ=4，则PQ=__________.
11．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为63，则线段AF长的取值范围是___________.
12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱AA1,CC1的中点，过点E,F的平面分别与直线BB1,DD1,BD1交于点G,H,M，P为侧面BCC1B1（含边界）上的一个动点.给出以下命题：
①四边形EGFH一定为菱形；
②四棱锥C1-EGFH的体积为定值；
③平面EGFH与平面ABCD所成的角不大于π4；
④PD1+PM的最小值为11.
其中正确命题的序号是______.
四、解答题
13．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=π2，PA⊥AD，AB=3，CD=AD=2，PA=23.
(1)求证：CD//平面PAB；
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的大小.
14．如图所示为圆锥SO，已知其侧面的展开图是圆心角为π2，面积为4π的扇形.
(1)求圆锥SO的体积；
(2)设A和B是底面圆周上两点，且平面SOA⊥平面SOB，求二面角A-BS-O的余弦值.
15．图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90∘，AB=2，DC=3，AD=3，CE=2ED，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2.
(1)求点D到平面BC1E的距离；
(2)若DP=13DC1，求二面角P-BE-A的大小.
题组C 培优拔尖练
一、多选题
1．在正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E在棱AB上，满足AE=2EB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为α，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得DE⊥BF
B．不存在某个位置，使得∠FDB=π4
C．存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DAC
D．存在某个位置，使得α=π6
2．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，P是BB1的中点，AA1=AC=BC=2，若平面α过点P，且与AC1平行，则（ ）
A．异面直线AC1与CP所成角的余弦值为1010
B．三棱锥C1-ACP的体积是该“堑堵”体积的13
C．当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332
D．当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于22
二、解答题
3．四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB，平面PAB⊥平面PBC.
(1)证明：AB⊥BC；
(2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值.
4．已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为143，且∠ABC=π2，A1C⊥平面BB1C1C.
(1)证明：平面A1B1C⊥平面A1B1C1；
(2)若A1C=B1C，A1B1=B1C1=2，求二面角B-AA1-C的正弦值.课程标准
重难点
1.能用向量方法解决简单夹角问题.
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
重点：利用空间向量求空间角.
难点：利用空间向量求空间角.
角的分类
向量求法
图形
范围
异面直线所成的角
若两异面直线l1,l2所成角为θ，它们的方向向量分别为u1,u2，则有csθ=_ u1⋅u2u1u2 _____ .
（0,π2]
直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，u与n 的角为φ，则有sinθ=__csφ ____=___u⋅nun____.
[0,π2]
二面角
如图，若PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB交l于E，则_ ∠AEB _为二面角α-l-β的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角α-l-β的平面角的大小为θ，其两个面α,β的法向量分别为n1,n2，csθ=__cs〈n1,n2〉 ___=___n1⋅n2n1n2___
[0,π]
平面与平面的夹角
求平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角csθ=_ cs〈n1,n2〉 _=_ n1⋅n2n1n2__.
[0,π2]