第五章：三角函数重点题型复习-高一数学上学期同步讲与练(人教A版必修第一册)

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第五章：三角函数重点题型复习  题型一 任意角、角度制与弧度制的概念【例1】下列说法中错误的是（    ）A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关【答案】D【解析】依据弧度的意义可知A正确；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；根据弧度的定义，一定等于弧度，C正确；根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．故选：D．  【变式1-1】下列说法正确的是（ ）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．  【变式1-2】下列说法正确的是（    ）A．终边相同的角相等         B．相等的角终边相同C．小于的角是锐角        D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.  【变式1-3】下列说法正确的是（    ）A．锐角是第一象限角        B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角        D．第四象限角是负角【答案】A【解析】锐角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确．故选：A．  题型二 求终边相同的角【例2】下列各角中，与终边相同的是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】与终边相同的角为，当时，，当时，，所以，的终边与的终边相同．故选：D.  【变式2-1】与角的终边相同的角可表示为（    ）A．        B．C．        D．【答案】C【解析】，所以角的终边与角的终边相同，所以与角的终边相同的角可表示为.故选：C  【变式2-2】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（    ）A．       B．       C．       D．【答案】C【解析】当取偶数时，，，故角的终边在第一象限.当取奇数时，，，故角的终边在第三象限.故选：C.  【变式2-3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.（1）        （2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.  题型三 确定n分角与n倍角的象限【例3】若是第二象限的角，则是（    ）A．第一或第三象限角        B．第一或第四象限角C．第二或第三象限角        D．第二或第四象限角【答案】A【解析】是第二象限角，，，当时，，在第一象限；当时，，在第三象限；是第一或三象限角．故选：A．  【变式3-1】若是钝角，则是（    ）A．第一象限角        B．第二象限角        C．第三象限角        D．第四象限角【答案】D【解析】，，,在第四象限.故选：D  【变式3-2】（多选）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（    ）A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限【答案】ABD【解析】是第二象限的角，则，，，，当时，是第一象限角，当时，是第二象限角，当时，是第四象限角，故选：ABD．  【变式3-3】（多选）若是第三象限的角，则可能是（    ）A．第一象限的角        B．第二象限的角C．第三象限的角        D．第四象限的角【答案】AC【解析】由于是第三象限的角，故，所以，所以.当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角.所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC.  【变式3-4】的终边在第三象限，则的终边可能在（    ）A．第一、三象限                     B．第二、四象限C．第一、二象限或轴非负半轴        D．第三、四象限或轴非正半轴【答案】C【解析】由于的终边在第三象限，则，所以，，因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.故选：C.  题型四 扇形的弧长、面积计算【例4】已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.故选：B  【变式4-1】已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ）A．1        B．4        C．1或4        D．1或5【答案】C【解析】设扇形的弧长为，半径为，所以，解得或，所以圆心角的弧度数是或.故选：C  【变式4-2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ）A．1        B．2        C．3        D．4【答案】C【解析】设，，，，，而，，即是的中点，，，.故选：C  【变式4-3】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】（1）；（2）取得最大值25，此时【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．所以扇形圆心角．（2）由已知得，．所以，所以当时，取得最大值25，,解得.当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.  题型五 sina、cosa、tana知一求二【例5】若为第三象限角，且，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】由题意，.故选：D  【变式5-1】若，且为第四象限角，则的值为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】由于，且为第四象限角，所以，.故选：D  【变式5-2】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为，，则可解得，所以.故选：A.  【变式5-3】已知，，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】由，得，结合可得，因为，所以.故选：B  题型六 正、余弦齐次式的应用【例6】若，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】，故选：A．  【变式6-1】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为，则，原式.故选：A.  【变式6-2】已知，则____________.（可用对数符号作答）【答案】【解析】∵，∴，又，.故答案为：  【变式6-3】已知，则__________．【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以或（舍）．故答案为：2.  题型七 sinacosa、sina±cosa知一求二【例7】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】，解得：.故选：A  【变式7-1】设，，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为，所以，，与异号．而已知，所以，．因为，所以取．故选：C.  【变式7-2】已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（    ）A．锐角三角形                B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形        D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，将两边平方得，而，故为钝角.故选：B.  【变式7-3】已知关于的方程的两个根为，，，求：（1）的值；（2）方程的两根及此时的值．【答案】（1）；（2）两根分别为，，或【解析】（1）.（2）由（1）得，所以，解得，所以方程的两根为，又因为，所以，此时；或，此时．  题型八 利用诱导公式求值化简【例8】的值为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】．故选：B  【变式8-1】若，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】.故选：B  【变式8-2】已知，则______．【答案】【解析】由题意得：∵，∴．  【变式8-3】已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵角的终边经过点，∴，，∴.（2）由（1）知：，，∴，∴.  题型九 解三角函数不等式【例9】试求关于x的不等式【答案】或.【解析】作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．由图可知，在[0，2π]上当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立，所以原不等式的解集为或.  【变式9-1】求不等式在的解集．【答案】【解析】因函数在R上单调递减，则，即，作出函数在区间上的图象，如图：观察图形知：，由得，所以不等式在的解集为.  【变式9-2】函数 的定义域是          .【答案】【解析】由函数 ，则，即，解得，所以函数的定义域是，故答案为：  【变式9-3】已知，若，则的取值范围是_______.【答案】【解析】由题，当时，原不等式可化为，解得，当时，由原不等式可得，解得，综上.  题型十 三角函数的性质及应用【例10】数的单调减区间是（    ）A．           B．C．        D．【答案】A【解析】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A.  【变式10-1】设函数，，若，函数是偶函数，则的值为（    ）A．或        B．或        C．或        D．或【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，.，又，所以或.故选：C.  【变式10-2】已知函数，且，，则______．【答案】【解析】，令，得，又，所以函数的图象关于直线对称，即．因为，所以，，所以，所以．故答案为：  【变式10-3】若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．【答案】【解析】因为，且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，所以，函数的最小正周期，所以，则，因此，.  题型十一 三角函数值域的求法【例11】函数在区间的值域为（    ）A．[，1]        B．[1，]        C．[1，2]        D．[，2]【答案】C【解析】当时，，，，故选：C  【变式11-1】函数的值域为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】函数，设，，则，由二次函数的图像及性质可知，所以的值域为，故选：C.  【变式11-2】函数的值域为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】设,因为，所以，因为正切函数在上为单调递增函数，且,所以．∴函数的值域为，故选：A．  【变式11-3】函数，的值域为______．【答案】【解析】因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.  题型十二 三角恒等变换求角与求值【例12】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为，所以,故选：A.  【变式12-1】已知，均为锐角，则A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为为锐角，且，所以，，于是，又为锐角，所以.故选：C.  【变式12-2】求下列各式的值．（1）；    （2）；    （3）；    （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）（2）（3）（4）  【变式12-3】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）.（2）（3）  题型十三 三角函数图象变换及应用【例13】要得到函数的图像，需（    ）A．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．将函数图像上所有点向左平移个单位长度D．将函数图像上所有点向左平移个单位长度【答案】D【解析】对于A，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；对于B，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；对于C，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，错误；对于D，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，正确.故选:D.  【变式13-1】为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ）A．向左平移个单位长度        B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度        D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D  【变式13-2】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（    ）A．        B．C．        D．【答案】C【解析】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是．故选：C．  【变式13-3】已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】,的周期为,将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，是周期的整数倍，，，，的最小值等于.故选：B  【变式13-4】已知函数的图像如图.（1）根据图像，求的表达式及严格增区间；（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围.【答案】（1），增区间为；（2）[-1,2].【解析】（1）根据函数的图象，可得，，所以，，由五点法作图，可得，，故，令，求得，Z，的单调递增区间，Z．（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，由在上有解，即在上有解，因为，，所以，所以的取值范围为．  题型十四 三角函数实际应用【例14】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（    ）A．        B．π        C．        D．2π【答案】B【解析】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以，则，可得.故选：B  【变式14-1】某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间的函数关系的解析式为___________；【答案】【解析】设函数解析式为：，因为最小正周期，所以，的最大值为62，最小值为2，所以，摩天轮正中心离地面32米，所以，当时，，所以，.所以解析式为：.故答案为：.  【变式14-2】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差．【答案】（1）10℃；；（2）4℃．【解析】（1）.故实验室上午8时的温度为10℃．（2），因为，所以，．当时，；当时，，故，于是在上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．  【变式14-3】某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．（1）若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【答案】（1）函数模型更好，函数解析式为（2）当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.【解析】（1）函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.从拟合曲线知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12，因此.又当时，；当时，，所求函数的表达式为（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得 取 ，则 ；取，则；取时，（不符合题意，舍去). 当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.