第五章：三角函数 章末测试-高一数学上学期同步讲与练(人教A版必修第一册)

第五章：三角函数章末测试

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（    ）

A． B．)

C．) D．)

【答案】C

【解析】与角终边相同角可以表示为

对A，由找不到整数让，所以A错误

对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，

对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误，

故选：C.

2．（2021·天津·高一期末）已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（    ）

A．32 B．24 C． D．

【答案】D

【解析】圆心角，扇形面积，即，得半径，

所以弧长，

故扇形的周长.故选：D

3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知，则点在第（    ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【解析】因为，所以为第四象限角，

所以，，所以点位于第四象限；故选：D

4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，

故，故，

即，

解得或.

因为，则，故.故选：A

5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数图象可得，

因为，所以，所以，

由函数过点，可得，

所以，，即，，

因为，所以，所以.故选：A

6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以.故选：D.

7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【解析】因为，，且，

所以由的图像转化为需要向右平移个单位.故选：D.

8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】方程恰有一个实数根，

等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．

当得：，

结合函数的图象可知，，解得：.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）

A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴

C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值

【答案】AC

【解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，

所以，，

又，所以，所以．

，是偶函数，故A正确；

令，解得:，

所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；

当时，，此时函数单调递减，故C正确；

显然函数的最小值为，当时，，故D错误．

故选：AC．

10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形中，，则下列等式中正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】由，得

等式两边同时除以，所以，故选项A正确；

由，得，

所以，故选项B正确．

假设，由选项A得

,因为是锐角三角形，所以

，与矛盾，所以选项C错误；

假设，所以，

由选项A得，化简得

显然不成立，所以选项D错误.故选：AB

11．（2022·浙江·高一期中）函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（    ）

A．

B．的一个对称中心为

C．函数图像向右平移个单位可得图象

D．是函数的一条对称轴

【答案】AB

【解析】因为为该图像最高点，所以，

又函数的图象与轴交于点，则，

又，所以，则，，

则，所以，

由图可知，所以，所以，

所以，故A正确；

对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；

对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，

故C错误；

对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，

故D错误.故选：AB.

12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】ABC

【解析】因为,设，，

则，即，

亦即．故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（2022·天津南开·高一期末）的值是_____.

【答案】

【解析】.

14．（2022·上海师大附中高一期末）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.

【答案】二或四

【解析】因为是第三象限角，所以，，所以，，

当为偶数时，为第二象限角，

当为奇数时，为第四象限角.

15．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为，所以，

所以，解得，即．

16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数  是奇函数，则______；

【答案】

【解析】

，它是奇函数，

则，，，

又，所以．

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022·全国·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：

（1）集合M中有几类终边不相同的角？

（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

（3）求集合M中的第二象限角．

【答案】（1）四类；（2）－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°

（3），

【解析】（1）集合M中的角可以分成四类，

即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．

（2）令，得，

又，所以终边不相同的角，

所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，

分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．

（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

所以，.

18．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简；

（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.

【答案】（1）；（2），

【解析】（1），

即.

（2）因为关于的方程的两根为和，

所以，，

所以，所以，

因为，所以，且，所以，

19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为函数图象的一个对称中心为，

可得，解得，

又因为，解得，所以.

（2）由，可得，所以，即，

由，可得，所以，

所以，

因为对任意的，均有，所以，解得，

所以实数的取值范围为.

20．（2022·山东·费县实验中学高一期末）已知函数．

（1）若存在，，使得成立，则求的取值范围；

（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），

若存在，使得成立，则只需即可，

，，

当，即时，有最大值1，，

（2）∵将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，

得到函数的图象，

，

，，

在上有4个零点，，

根据对称性有，，

21．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：

（1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.

（2）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为，最小值为

【解析】（1）根据五点法的表格，所以

所以的最小正周期

令，解之得

又，所以或

即在上的单调递减区间为，

（2）由于 ，所以

所以，所以

当即时，函数的最小值为;

当即时，函数的最大值为.

22．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.

（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；

（2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？

【答案】（1）；（2）10分钟．

【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，

最低点到地面距离为10 m，

所以，，又，则，

所以所求表达式为；

（2），，

取一个周期内，有，，．

所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．