湖南省长沙市2020-2021-2长郡教育集团九下期中考试真卷（带答案解析）

长沙市2021年初中毕业学业考试模拟试卷(四)

数  学

时量：120分钟    满分：120分

一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分)

1.的相反数是(    )

A.3     B.     C.    D.

2.2020年12月6日6时12分，“嫦娥五号”在38万公里外的月球轨道上，成功完成了人类首次月球轨道无人自动交会对接和样品转移.用科学记数法表示“38万”为(    )

A.   B.   C.   D.

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.   B.  C.   D.

4.下列计算正确的是(    )

A.   B.   C. D.

5.一次函数的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

6.一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为(    )

A.1     B.2     C.3     D.4

7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.     B.

C.     D.

8.已知函数，点在该函数的图象上.那么，点应在直角坐标平面的(    )

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

9.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦.⊙O的半径为(    )

A.    B.    C.    D.2

10.随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得(    )

A.  B.  C.  D.

11.如图，在菱形ABCD中，，分别以A，B为C圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线EF分别交AB、AD于E、F两点，则∠DBF的度数为(    )

A.30°    B.45°    C.60°    D.75°

第9题图  第                      11题图                           第12题图

12.如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线，分别与两抛物线交于点A、C，则以下结论：

①无论x取何值，总是负数；

②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；

④四边形AECD为正方形.

其中正确的是(    )    

A.①②    B.①②④    C.③④    D.①②③

二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)

13.临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58 m，方差分别是：，，这两名同学成绩比较稳定的是__(填“甲”或“乙”).

14.已知，则________.

15.在学校开展的手工制作比赛中，小明用纸板制作了一个圆锥模型，它的三视图如图所示，根据图中数据求出这个模型的侧面积为________.

第15题图                                       第16题图

16.如图，在正方形ABCD中，.G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，，连接OF.已知，下列说法正确的是________.(将正确答案的序号填写下来)

①；②；③；④；⑤若E点为线段CD上一动点，当时，.

三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(6分)计算：.

18.(6分)先化简，再求值：，其中.

19.(6分)学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得，沿河岸到达C处，在C处测得，已知河宽为20米，求BC之间的距离.

20.(8分)为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门球类项目(A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球)，王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图(如图所示).

(1)王老师调查的学生人数是________，请将条形统计图补充完整；

(2)若该校共有学生1500名，请估计有多少名学生选修乒乓球；

(3)现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都选修篮球的概率.

21.(8分)如图，△ABC中，，∠B的平分线交AC于D，交BD的延长线于点E，交BE于点F.

(1)若，求∠AFE的度数；

(2)若，求AF的长.

22.(9分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)过点D作于点F，连接BD.若，，求sin∠DAB.

23.(9分)疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现从7:00开始，在校门口的学生人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟)的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示.

(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)从7:00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？

(3)现学校通过调整校门口的校通道，提高体温检测效率.经过调整，现在每分钟可以多通过2人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由.

24.(10分)对于平面直角坐标系上的点S与图形Ω，给出如下定义若图形Ω上有一点T，使得，且以T为旋转中心，把点S顺时针旋转90°后的对应点也在图形Ω上，则称点S为图形Ω的“初心点”；

例如：如图1，给出点与x轴，过点S作轴于点T，则可得点T的坐标为，此时，且使点S绕点T顺时针旋转90°后得到的对应点也在x轴上，因此点S为x轴的“初心点”.

(1)如图2，已知点，，，，，，，.

①点C，D，E，F，G，H中，为线段AB的“初心点”的是________；

②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，求a的取值范围；

(2)如图3，已知点为x轴上的一个动点，以N为圆心的⊙N半径长为，以，为端点的线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，求n的取值范围.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，经过，且与x轴正半轴交于A，B两点.

(1)如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；

(2)如图2，延长线段OC至N，使得，若，且，求抛物线的解析式；

(3)如图3，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于，经过点C的直线与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在、，使，求k的取值范围.

长沙市2021年初中毕业学业考试模拟试卷(四)

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.乙    14.1     15.    16.①③⑤

三、解答题

17.解：原式

.

18.解：

，

当时，原式.

19.解：如图，作于点D，

∴，.

在Rt△ABD中，米.

在Rt△ACD中，(米).

∴米.

答：BC之间的距离为米.

20.解：(1)该班总人数(人).

选D(羽毛球)人数(人)，

条形图如图所示：

故答案为：50；补全条形图如图.

(2)(人)，

答：估计有240名学生选修乒乓球.

(3)画树状图为：A：篮球，B：足球，C：排球.

共有12种等可能的结果数，其中所选2人都是选修篮球有2种可能，

所以选出的2人都选修篮球概率.

21.解：(1)∵，，

∴，

∵BD平分∠ABC，

∴，

∵，

∴，

∴；

(2)∵，

∴，

在△ADE和△CDB中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴△ABC是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在Rt△ABF中，.

22.解：(1)连接OD，如图.

∵，

∴，

∵AD平分∠CAB，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴DE是⊙O的切线；

(2)∵AB是⊙O的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，.

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴.

∴，

∴.

23.解：(1)设，

根据题意，得：，

，，

解得：，，，

∴.

(2)令，得：，

解得：(舍)或.

答：需要34分钟校门口的学生才能全部进校.

(3)设第x分钟时的排队等待人数为w人，

由题意可得：，

当时，.

答：7:30时所有学生不能全部进校.

24.解：(1)C，D，F，H

②由①可知，AB的所有“初心点”都在线段DH和线段CF上，因此反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，等价于反比例函数图象与线段DH和线段CF只有一个x公共点.

分两种情况：

(ⅰ)当时，如图1所示.

①可知在第一象限内，反比例函数的图象上不存在线段AB的“初心点”，在第三象限内，当反比例函数的图象过点，此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最大值，

此时把代入得：.

∵若反比例函数的图象上只有一个点为线段AB的“初心点”，

∴a的取值范围是：；

(ⅱ)当时，如图2所示，

在第二象限内，当反比例函数的图象过点，此时的a，是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最小值，此时：；在第四象限内，当反比例函数的图象过点，此时的a，是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最大值，此时：.

∵反比例函数的图象上只有一个点为线段AB的“初心点”，

∴a的取值范围是：；

综上，a的取值范围是：或；

(2)首先我们对⊙N的所有“初心点”的可能位置进行考虑：

①⊙N内不存在⊙N的“初心点”；

②对于⊙N上任意一点S，如图3，由⊙N半径为可知，以弦为直角边，直径为斜边的一定是等腰直角三角形，因此⊙N上任意一点都可以是⊙N的“初心点”；

③对于⊙N外一点S，若它是⊙N的“初心点”，则在⊙N上存在点T与点，使得，且；

如图4，作的延长线于M，可得，

∴，

即点S在以N为圆心，为半径的圆上；

综上所述，⊙N的所有“初心点”在以N为圆心，分别以和为半径的两个同心圆上；因此，线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，等价于线段PQ与两个同心圆有两个公共点；然后观察两个同心圆在数轴上从左向右的运动过程可知：

①从大⊙N右边与PQ相切开始，到大⊙N右边过点Q止的这段过程中，线段PQ与大⊙N有2个公共点，因此线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，

当大⊙N右边与PQ相切时，如图5可知：

，∴，

∴，此时；

当大⊙N右边过点Q时，如图6可知：

在Rt△ONQ中，，此时，

∴对应n的取值范围是：；

②如图7，图8，从小⊙N右边与PQ相切开始，到小⊙N右边过点P止的这段过程中，线段PQ与小⊙N有2个公共点，因此线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点，同①理计算得到对应n的取值范围是：；

③如图9，图10，从大⊙N左边过点Q开始，到小⊙N左边过点P止的这段过程中，线段PQ与大⊙N有1个公共点，线段PQ与小⊙N也有1个公共点，因此线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，同①理计算得到对应n的取值范围是：；

综上所述，当线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”时：或或.

25.解：(1)点C的路径长.

(2)∵，，

∴，

∴，则，即，

∴.又∵，∴.

在△ABM中，，

∴，即，

解得：，(舍去)，

∴，，，

即二次函数解析式为：.

(3)由题意得：，解得：，

故抛物线的表达式为：.

将代入，得，∴，

∴CD解析式为：，

联立抛物线：，则，

解得：，，

∴.

若在x轴上有且仅有一点P，使，则以CD为直径的圆H与x轴相切，设切点为P，

则，

∴.

∵，

∴，即，(也可以用勾股定理和相似得出关于k的方程)

化简为：，

∴，(舍去).

依题在x轴上存在两点、，使，则以CD为直径的圆H与x轴相交，

则.