2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣B．x≥﹣C．x≥D．x≤
3．（3分）华为手机MateX在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．603×106B．6.03×108C．60.3×107D．0.603×109
4．（3分）下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC为（ ）
A．2B．2C．D．1
8．（3分）已知一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数y＝，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cs∠ADD'为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）单项式3xm+4y3与x2yn﹣1是同类项，则mn＝ ．
12．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
13．（3分）在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个．这些球除颜色不同外，其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n＝ ．
14．（3分）如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 ．
15．（3分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是 ．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
19．（6分）如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
20．（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
22．（9分）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
23．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“益心”，例如点（﹣1，1），（0，0），（，2），…都是“益心”，显然，这样的“益心”有无数个．
（1）求一次函数y＝x+2上的所有“益心”的坐标；
（2）若过点（1，﹣1）的直线上恰好有一个“益心”，请求出符合要求的直线解析式；
（3）若二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，试求实数a的取值范围．
25．（10分）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，P，Q为线段AB上的两个动点（P在Q的右侧），且始终满足∠POQ＝45°．
（1）求证：△AOQ∽△BPO；
（2）记点P的横坐标为m，Q的纵坐标为n，试判断：P，Q两点在移动的过程中，动点M（m，n）是否始终在一个确定的反比例函数上；若是，求出反比例函数的解析式；若不是，也请说明理由；
（3）在（2）的情况下：
①请判断：以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的形状，并给出理由；
②若△AOQ与△BPO的面积相等时，记t＝tan∠AOP，当t≤x≤时，抛物线y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的最小值恰好等于以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的面积，求该抛物线二次项系数a的值．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；
【解答】解：＝2是有理数，是无理数，
故选：D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣B．x≥﹣C．x≥D．x≤
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可求得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣3x≥0，
解得x≤，
故选：D．
3．（3分）华为手机MateX在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．603×106B．6.03×108C．60.3×107D．0.603×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将603 000 000用科学记数法表示为6.03×108．
故选：B．
4．（3分）下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【分析】把x、y值代入方程组得到关于a和b的方程组，然后①+②即可求解a+b的值．
【解答】解：把代入方程组中，
得到，
①+②，得3a+3b＝9，
所以a+b＝3．
故选：A．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．2
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝＝2．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC为（ ）
A．2B．2C．D．1
【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝＝2，
∴CO＝2．
故选：A．
8．（3分）已知一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数y＝，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先一次函数y＝k（x﹣1）化为一次函数的一般形式，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：一次函数y＝k（x﹣1）可化为y＝kx﹣k的形式，
A、由一次函数的图象经过一三四象限可知k＞0，由反比例函数的图象可知k＞0，故此选项符合题意；
B、由一次函数图象经过二三四象限可知k＜0，﹣k＞0，与函数图象经过y轴负半轴相矛盾，故本选项不合题意；
C、由一次函数图象经过二三四象限可知k＜0，﹣k＞0，与函数图象经过y轴负半轴相矛盾，故本选项不合题意；
D、由一次函数的图象经过一三四象限可知k＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，故本选项不合题意．
故选：A．
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用已知条件以及勾股定理构建方程组求出OA，OH即可解决问题．
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cs∠OAB＝＝＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cs∠ADD'为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点D'作D'E⊥AD于点E，设D'E＝3x，AE＝4x，在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝5x＝10，得x＝2，则D'E＝6，AE＝8，DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DED'中，由勾股定理求得DD'的长，即可解决问题．
【解答】解：过点D'作D'E⊥AD于点E，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，
∴∠DAD'＝θ，AD＝AD'＝10，
∵tanθ＝，
∴，
设D'E＝3x，AE＝4x，
在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴D'E＝6，AE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DED'中，由勾股定理得：
DD'＝，
∴cs∠ADD'＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）单项式3xm+4y3与x2yn﹣1是同类项，则mn＝ 16 ．
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：因为单项式3xm+4y3与x2yn﹣1是同类项，
所以m+4＝2，n﹣1＝3，
解得m＝﹣2，n＝4，
所以mn＝（﹣2）4＝16．
故答案为：16．
12．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 105（1﹣x）2＝88 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：105（1﹣x）2＝88．
故答案为：105（1﹣x）2＝88．
13．（3分）在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个．这些球除颜色不同外，其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n＝ 3 ．
【分析】根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：根据题意可得＝，
解得：n＝3，
经检验n＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数n＝3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 52° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠GFD＝26°，∠AEF＝∠EFD，利用角平分线的定义可求解∠EFD的度数，进而可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠AEF＝∠EFD，
∵∠FGB＝154°，
∴∠GFD＝180°﹣154°＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∴∠AEF＝52°，
故答案为52°．
15．（3分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝90°，根据勾股定理求出OA、OB，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB＝＝，
∴扇形OAB中阴影部分的面积＝﹣××＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．
所以方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值等知识分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣（﹣1）+2×
＝4+1﹣+1+
＝6．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
19．（6分）如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
【分析】（1）作MC⊥AB于C，根据余弦的定义计算；
（2）利用余弦的定义求出AM，计算即可．
【解答】解：（1）作MC⊥AB于C，
则MC＝BM×cs45°＝60海里，
答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；
（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，
40÷20＝2，
答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．
20．（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 100 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；
（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；
故答案为：100；
（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：
（3）估计选择“唱歌”的学生有：1200×＝480（人）；
（4）根据题意画树形图：
共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AE，由AB＝BE得到CD＝BE，根据平行四边形的判定即可证得结论；
（2）过D作DH⊥AE于H，根据勾股定理得到BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，可求得BH，再由勾股定理求得DH，根据平行四边形的面积公式即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE•DH＝4×＝4．
22．（9分）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
解得：m≤16．
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
23．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
【分析】（1）欲证明AF是⊙O的切线，只要证明∠FAE＝90°即可．
（2）证明△ADO∽△AED，可得结论．
（3）过点B作BJ⊥EC于J．由题意sin∠BAC＝＝，可以假设BC＝a，AC＝3a，证明∠CBJ＝∠BAC，可得sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，推出CJ＝a，BJ＝＝＝a，再证明∠CEB＝∠CBE，推出CE＝CB＝a，推出EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，由AF∥BJ，推出＝，可得a＝，利用勾股定理求出EF，BE，可得结论．
【解答】（1）证明：连接CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，
∴AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠AED，
∵OA＝OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠AED，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴△ADO∽△AED，
∴＝，
∴AD2＝AO•AE．
（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，
∴CJ＝a，
∴BJ＝＝＝a，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴＝，
∴，
∴a＝，
∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，
∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，
∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．
24．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“益心”，例如点（﹣1，1），（0，0），（，2），…都是“益心”，显然，这样的“益心”有无数个．
（1）求一次函数y＝x+2上的所有“益心”的坐标；
（2）若过点（1，﹣1）的直线上恰好有一个“益心”，请求出符合要求的直线解析式；
（3）若二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，试求实数a的取值范围．
【分析】（1）设一次函数y＝x+2上的“益心”的坐标为（m，m2），由m2＝m+2，即可得一次函数y＝x+2上的“益心”的坐标为（2，4）或（﹣1，1）；
（2）设符合要求的直线解析式为y＝kx+b，由点（1，﹣1）在直线上，可得直线解析式为y＝kx﹣k﹣1，设直线y＝kx﹣k﹣1的“益心”为（x，x2），则x2﹣kx+k+1＝0，由Δ＝0，解得k＝2+2或k＝2﹣2，从而直线解析式为y＝（2+2）x﹣3﹣2或y＝（2﹣2）x﹣3+2；
（3）设二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上的“益心”为（x，x2），则（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0，根据二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”，得a＞且a≠1，设（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0的两个实数为x1和x2，假设x1和x2都不大于2，可得，解得﹣2≤a＜1，即＜a＜1时，二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上两个不同的“益心”横坐标都不大于2，从而可得二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，则a＞1．
【解答】解：（1）设一次函数y＝x+2上的“益心”的坐标为（m，m2），
∴m2＝m+2，解得m＝2或m＝﹣1，
∴一次函数y＝x+2上的“益心”的坐标为（2，4）或（﹣1，1）；
（2）设符合要求的直线解析式为y＝kx+b，
∵点（1，﹣1）在直线上，
∴﹣1＝k+b，即b＝﹣k﹣1，
∴直线解析式为y＝kx﹣k﹣1，
设直线y＝kx﹣k﹣1的“益心”为（x，x2），则x2＝kx﹣k﹣1，
∴x2﹣kx+k+1＝0，
∵直线上恰好有一个“益心”，
∴x2﹣kx+k+1＝0有两个相等实数根，即Δ＝0，
∴（﹣k）2﹣4（k+1）＝0，解得k＝2+2或k＝2﹣2，
当k＝2+2时，b＝﹣k﹣1＝﹣3﹣2，直线解析式为y＝（2+2）x﹣3﹣2，
当k＝2﹣2时，b＝﹣k﹣1＝﹣3+2，直线解析式为y＝（2﹣2）x﹣3+2；
（3）设二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上的“益心”为（x，x2），
则x2＝ax2﹣6ax+9a﹣1，即（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0，
∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”，
∴（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0有两个不相等的实数根，即，
解得a＞且a≠1，
设（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0的两个实数根为x1和x2，则x1+x2＝，x1•x2＝，
假设x1和x2都不大于2，即x1≤2且x2≤2，则，即，
∴，解得﹣2≤a＜1，
∴＜a＜1时，二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上两个不同的“益心”横坐标都不大于2，
∴二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，则a＞1．
25．（10分）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，P，Q为线段AB上的两个动点（P在Q的右侧），且始终满足∠POQ＝45°．
（1）求证：△AOQ∽△BPO；
（2）记点P的横坐标为m，Q的纵坐标为n，试判断：P，Q两点在移动的过程中，动点M（m，n）是否始终在一个确定的反比例函数上；若是，求出反比例函数的解析式；若不是，也请说明理由；
（3）在（2）的情况下：
①请判断：以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的形状，并给出理由；
②若△AOQ与△BPO的面积相等时，记t＝tan∠AOP，当t≤x≤时，抛物线y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的最小值恰好等于以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的面积，求该抛物线二次项系数a的值．
【分析】（1）由一次函数解析式可得A（2，0），B（0，2），所以OA＝OB，所以∠OBA＝∠OAB＝45°，再证明∠BPO＝∠QOA，即可证明△AOQ∽△BPO；
（2）点P坐标为（m，2﹣m），点Q坐标为（2﹣n，n），点B坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），由两点间距离公式可得BP＝＝，AQ＝＝，由（1）中结论△AOQ∽△BPO可得，所以AO•BO＝BP•AQ，即2×2＝×＝4，得mn＝2，即可判断动点M（m，n）始终在反比例函数上；
（3）①在（2）的情况下，mn＝2，P（m，2﹣m），Q（2﹣n，n），B（0，2），A（2，0），由两点距离公式可得AP＝，BQ＝，PQ＝，可证明AP2+BQ2＝PQ2，故以线段AP，BQ，PQ围成的三角形为直角三角形；
②当△AOQ与△BPO的面积相等时，可得n＝m＝，则以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的面积为S＝＝．由t＝tan∠AOP，可得t＝＝＝，故当t≤x≤时，即≤x≤．抛物线的对称轴为x＝，则函数图象在≤x≤ 部分是下降的，因此在x＝ 处取得最小值，由此可建立方程，可解得．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠BPO＝∠POA+∠BAO，∠QOA＝∠POA+∠POQ，
又∠BAO＝∠POQ＝45°，
∴∠BPO＝∠QOA，
∴△AOQ∽△BPO．
（2）动点M（m，n）始终在函数上，理由如下：
∵点P的横坐标为m，Q的纵坐标为n，点P、Q在直线y＝﹣x+2上，
故点P坐标为（m，2﹣m），点Q坐标为（2﹣n，n），点B坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），
由两点间距离公式可得BP＝＝，AQ＝＝，
由（1）中结论△AOQ∽△BPO可得，
∴AO•BO＝BP•AQ，
即2×2＝×＝4，
∴mn＝2，
∴动点M（m，n）设在y＝的函数图象上，则mn＝k＝2，
故动点M（m，n）始终在反比例函数上．
（3）①以线段AP，BQ，PQ围成的三角形是直角三角形，理由如下：
∵在（2）的情况下，mn＝2，P（m，2﹣m），Q（2﹣n，n），B（0，2），A（2，0），
∴AP＝＝，
BQ＝＝，
PQ＝＝＝，
∴AP2+BQ2＝PQ2，
故以线段AP，BQ，PQ围成的三角形是直角三角形．
②当△AOQ与△BPO的面积相等时，即，
∵OA＝OB＝2，nm＝2，
∴n＝m＝，
∴AP＝BQ＝，
∴以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的面积为S＝＝．
∵t＝tan∠AOP，即t＝＝＝，
∴当t≤x≤时，即≤x≤，
∵抛物线y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的对称轴为x＝，则函数图象在≤x≤ 部分是下降的，
因此在x＝ 处取得最小值，
故ymin＝＝，
解得：．
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日期：2021/8/16 23:17:55；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298