湖南省长沙市2020-2021-2岳麓区联考数学试卷（带答案解析）

2021 年初中学业水平考试模拟试卷

数 学

注意：

1．本试卷共三道大题，25 道小题，满分 120 分，时量 120 分钟；

2．请将解答做在答题卡上，做在该试卷上无效．

一．选择题（本大题共计 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）

1．要使二次根式有意义，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

2．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是　　

  A．    B．    C．     D．

3．下列计算正确的是　　

A． B．C． D．

4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是　　

A．      B．      C．      D．

5．不等式组的解集在数轴上表示为　　

A．      B．      C．       D．

6．下列说法正确的是

A．一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖

B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8

D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定

7．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于　　

A．10 B．7 C．5 D．4

     第7题图              第9题图                  第12题图              第16题图

8．随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约，预计到2021年全球装机总量达到．设全球新增装机量的年平均增长率为，则可列的方程为 　　

A． B． C． D．

9．如图，线段是的直径，点、为上的点，过点作的切线交的延长线于点，若，则等于　　

A． B． C． D．

10．若点是抛物线上的点，且抛物线与轴至多有一个交点，则的最小值　　

A． B． C． D．

二．填空题（（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．2021 年 2 月 24 日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离 59000000 米的椭圆形轨道．将59000000 米用科学记数法表示为________米．

12．如图，已知，，则　　．

13．当m      时，函数的图象在第二、四象限内。

14．若圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　　．

15．在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共 40 个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为________．

16．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，点 C 的对应点恰好落在 CB 的延长线上，连接 CB1，则      .

三．解答题（本大题共 9 个小题第 17、18、19 题，每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、

23 题每小题 9 分，第 24，25 题每小题 10 分，共 72 分）

17.计算：

18.先化简，再求值：，其中。

19．如图，在的正方形网格中，、、都是格点，为半圆的直径，在半圆上，请你仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）

（1）作点关于直线的对称点；

（2）直接标出弦的中点及半圆的圆心，并作弧的中点；

（3）在射线上作点，使．

20．九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供、、、四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．

男、女生最向往的研学目标人数统计表

根据以上信息解决下列问题：

（1）　　，　　；

（2）扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数为　　；

（3）从最向往的研学目标为的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．

21．如图，平分，，且，点在线段上，的延长线交于点，连接．

（1）求证：．

（2）当，时，求的度数．

22．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如下表所示：

请解答下列问题．

（1）第一次，该商店批发，两种头盔共100个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个？

（2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于，则该超市第二次至少批发种头盔多少个？

23．如图，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

24．设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“中轴点”．例如：若点 P 在矩形 ABCD 内部，且，则称为边的“中轴点”．

已知，已知点 P 是矩形 ABCD 边 AD 的“中轴点”，且，，如图1．

（1）求证：P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点”；

（2）如图 2，连接 PA，PB，若△PAB 是直角三角形，求 PA 的值；

（3）如图 3，连接 PA，PB，PD，求的最小值。

25．抛物线与轴交于、两点，顶点为，点在抛物线上，且位于轴下方．

（1）如图1，若、，

①求该抛物线的解析式；

②若是抛物线上一点，满足，求点的坐标；

（2）如图 2，已知直线 PA，PB 与 y 轴分别交于 E、F 两点．当点 P 运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

2021岳麓区联考数学试卷

参考答案

一、选择题

二、填空题

11.    12.     13.

14.     15.     16.

三、解答题

17.解：

18.解：原式

，

当时，

原式.

19.解：(1)如图，点D即为所求作.

(2)如图，点O，点T，点E即为所求作.

(3)如图，点F即为所求作.

20.解：(1)样本容量，

依据题意得：，

解得：；

；

故答案为：8、3；

(2)；

故答案为：144°.

(3)列表得：

由表格可知，共有6种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为4，

所以恰好选中1男1女的概率.

21.证明：(1)∵AD平分∠BAC，

∴，

∵，，

∴；

(2)∵AD平分∠BAC，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴.

22.解：解：(1)设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个.

根据题意，得，

解得，

答：第一次A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个.

(2)设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔个.

由题意，得

解得，

答：第二次该商店至少批发72个A种头盔.

23.解：(1)如图1，连接OD，则，

∴，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵点D在⊙O上，

∴BC是⊙O的切线；

(2)如图2，

连接OD，DF，EF，

∵AE是⊙O的直径，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

由(1)知，，

∴，

∴，

∴；

(3)如图3，

连接OD，由(1)知，，

∴，

设⊙O的半径为R，则，

∵，

∴，

在Rt△BDO中，∵，∴，

∴，

∴，

∴，，

连接EF，由(2)知，，，

∴，

在Rt△AFE中，，

∴

由(2)知，，

∴.

24.解：(1)如图1，∵P是边AD的“中轴点”，

∴，

∴，

在△BAP和△CDP中，

，

∴，

∴，

∴P是边BC的“中轴点”.

(2)如图2，∵P是边AD的“中轴点”，

由(1)可知：P也是边BC的“中轴点”，

∴点P在AD的垂直平分线上.

过点P作于E，于F，

则.

∵△PAB为直角三角形，且P在矩形内部，

∴只有.

在和中，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

设，则，

∴，

解得：或，

当时，；

当时，；

∴PA的值为或；

(3)过点P作于N，如图3.

由(2)知：点P在AD和BC的垂直平分线上，

∴，，

∵，，

∴，

设，则，

∴，

当时，有最大值25，

∴有最小值，

∴的最小值是.

25.解：(1)①将，代入，得

，解得，

抛物线的解析式为；

②如图1，

当点D在OP左侧时，

由，得

，

D与P关于y轴对称，，

得；

当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G，则.

作于点H，

设，则，.

在Rt△PGH中，由，得.

∴点.

作于点M，设点D的坐标为，则

，即

解之，得，(舍去)

∴.

∴点D的坐标为或.

(2)点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：

作于Q点，设，，，

则，.

∵，

∴，

∴.

同理.

∴.

∴.