初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆课后测评

第28课  弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图

知识点01  弧长公式

半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：             
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：                   (弧是圆的一部分);

要点诠释：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的      ，即=                  ；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
 

知识点02  扇形面积公式

1.扇形的定义
　　由组成            所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：                 
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形=                 
要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的            ，即                  ；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形                  .
知识点03  圆锥的侧面积和全面积

　　连接圆锥        和                    的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　圆锥的侧面积                ，

圆锥的全面积：S全=S侧+S底                        .
要点诠释：
　　扇形的半径就是圆锥的     ，扇形的弧长就是圆锥底面圆的     .因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
 

考法01   弧长和扇形的有关计算

【典例1】如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，的长为20πcm，

那么AB的长是多少?

【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是           ．

【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?

【即学即练2】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　）．

A． B．     C． D．

考法02   圆锥面积的计算

【典例3】如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．

（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【即学即练3】已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是　　．

考法03   组合图形面积的计算

【典例4】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

题组A  基础过关练

1．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（     ）

A．5π             B．4π               C．3π             D．2π

2．如图，边长为l2 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在(    )

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处

3．劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（ ）cm2．

A．250π B．500π C．750π D．1000π

4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）

A． B． C． D．

5．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（  ）.

A．12π  B．15π     C．20π    D．30π

6．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　）

A． B． C． D．

7．已知扇形的圆心角为60°，弧长为10π，则扇形的面积为（　　）

A．30 B．30π C．150π D．150

题组B  能力提升练

1．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（  ）

A．3π B． C． D．4π

2．如图，有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形OAB，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是         cm.

3．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．

4．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为__________________cm2．

5．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分面积为____________．

6．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是      ．

7．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是_.

8．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_____．

9．如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是     ．

题组C  培优拔尖练

1．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在-起，连接AC、BD．

2．如图，已知圆锥的底面半径为10 ，母线长为40 .

（1）求圆锥侧面展开图的圆心角；

（2）若一小虫从点A出发沿圆锥侧面绕行到母线CA的中点B处，求它所走的最短路程是多少？

3．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB，被剪掉的阴影部分的面积是多少？

4．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：

（1）BC、AD的长；

（2）图中两阴影部分面积的和．

5．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；

（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

6．如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝，弦CD＝DE＝2，连接OB、OD，求图中阴影部分的面积和．