初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课时作业

第28课  弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图

知识点01  弧长公式

半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分);

要点诠释：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即=；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
 

知识点02  扇形面积公式

1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形=
要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.
知识点03  圆锥的侧面积和全面积

　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　圆锥的侧面积，

圆锥的全面积：S全=S侧+S底.
要点诠释：
　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
 

考法01   弧长和扇形的有关计算

【典例1】如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，的长为20πcm，

那么AB的长是多少?

【答案与解析】

∵  ，

∴  ．

         解得  R＝30 cm．

         答：AB的长为30cm．

【总结升华】由弧长公式知，已知l、n，可求R．

【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是           ．

【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得

【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?

【答案与解析】 

     ∵  BC＝AD＝，∴  ．

     连接PE，∵  AD切⊙E于P点，∴  PE⊥AD．

     ∵  ∠A＝∠B＝90°．

     ∴  四边形ABEP为矩形，

     ∴  PE＝AB＝1．

     在Rt△BEM中，，∠BEM＝30°．

同理∠CEN＝30°，∴  ∠MEN＝180°-30°×2＝120°．

∴  ．

【总结升华】由与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角∠MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积．

【即学即练2】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　）．

A． B．     C． D．

【答案】D；

【解析】设圆锥底面圆的半径为r，∴S底=πr2，S侧=•2r•2πr=2πr2，∴S侧：S底=2πr2：πr2=2：1．

考法02   圆锥面积的计算

【典例3】如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．

（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案与解析】

（1）连接，如图，由勾股定理求得：

（2）连接并延长，与弧和交于，

弧的长： ，

  圆锥的底面直径为：

，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

（3）（2）中的结论仍然成立.

由勾股定理求得： 弧的长：

∴圆锥的底面直径为：

且

即无论半径为何值，

∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

【即学即练3】已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是　　．

【答案】24π.

【解析】底面周长是：2×3π=6π，

则侧面积是：×6π×5=15π，

底面积是：π×32=9π，

则全面积是：15π+9π=24π．

故答案为：24π．

考法03   组合图形面积的计算

【典例4】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

【答案与解析】

解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，

∴PD⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF=30°，

∴OF=OP，

∵OA=OC，AD=BD，

∴BC=2OD，

∴OA=BC=2，

∴⊙O的半径为2，

∴劣弧PC的长===π；

（2）∵OF=OP，

∴OF=1，

∴PF==，

∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．

【总结升华】本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．

题组A  基础过关练

1．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（     ）

A．5π             B．4π               C．3π             D．2π

【答案】D.

【解析】

试题分析：已知扇形的半径r＝2，圆心角n＝180°，根据扇形的面积公式，计算即可解答.

.

故选择D.

考点：扇形的面积计算.

2．如图，边长为l2 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在(    )

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处

【答案】B

【详解】

解：将牛栓在A处时，活动区域的面积是：π×42+π×12=π；

将牛栓在B处时，活动区域的面积是：π×42=12π；

将牛栓在C处时，活动区域的面积是：π×42+π×12=π；

将牛栓在D处时，活动区域的面积是：π×42=8π．

则应栓在B处．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积计算．这个公式要牢记，面积公式：S=．

3．劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（ ）cm2．

A．250π B．500π C．750π D．1000π

【答案】B

【解析】

试题分析：利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，即可求出答案．

试题解析：底面圆的半径为10cm，则底面周长=20πcm，

侧面面积=π×10×50=500πcm2．

故选B．

考点：圆锥的计算．

4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．

由题意得S底面面积=πr2，

l底面周长=2πr，

S扇形=3S底面面积=3πr2，

l扇形弧长=l底面周长=2πr．

由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R，

故R=3r．

由l扇形弧长=得：2πr=，解得n=120°．

故选A．

考点：1.圆锥的计算；2.几何体的展开图．

5．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（  ）.

A．12π  B．15π     C．20π    D．30π

【答案】B．

【解析】

试题分析：首先根据圆锥的高和底面半径求得圆锥的母线长，然后计算侧面积即可．∵圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，∴根据勾股定理得：圆锥的母线长为=5cm，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×5=15π．

故选：B．

考点：圆锥的计算．

6．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题解析：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°；
连接OA、OB、OC，

∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠OAB=∠OCB=108°-90°=18°，
∴∠AOC=144°
所以劣弧AC的长度为．
故选B．

7．已知扇形的圆心角为60°，弧长为10π，则扇形的面积为（　　）

A．30 B．30π C．150π D．150

【答案】C

【分析】

先根据弧长公式弧长公式求出半径R，然后根据扇形的面积公式即可得出答案．

【详解】

解：∵l，

∴R30，

∴S扇形150π．

故选：C．

【点睛】

本题考查了扇形面积和弧长的计算，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式．

题组B  能力提升练

1．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（  ）

A．3π B． C． D．4π

【答案】C

【详解】

试题解析：如图，

∵D为AC的中点，AC=AO=6，
∴OD⊥AC，
∴AD=AO，
∴∠AOD=30°，OD=3，
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°-60°=90°
∴点D所经过路径长为：π．
故选C．

2．如图，有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形OAB，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是         cm.

【答案】 .

【解析】

试题分析：由圆心角为120°、半径长为6，

可知扇形的弧长为=4π，

即圆锥的底面圆周长为4π，

则底面圆半径为2，

已知OA=6，

由勾股定理得圆锥的高是4.

故答案为：4.

考点：圆锥的计算.

3．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．

【答案】2

【详解】

解：扇形的弧长==2πr，

∴圆锥的底面半径为r=2．

故答案为2．

4．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为__________________cm2．

【答案】（）cm2

【解析】

试题解析：连接OA、OD．

∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，

∴∠BCD=60°，

∵AC平分∠BCD，

∴∠ACD=30°，

∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．

∴∠BAC=90°，

∴BC是直径，

又∵OA=OD=OB=OC，

则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．

∴AB=AD=CD．

又∵四边形ABCD的周长为10cm，

∴圆的半径是10÷5=2（cm）．

∴阴影部分的面积==（cm2）．

考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定与性质；3．等腰梯形的性质．

5．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分面积为____________．

【答案】﹣1

【分析】

图中S阴影=S半圆﹣S△ABD．根据等腰直角△ABC、圆周角定理可以推知S△ABD=  S△ABC=1．再求图中的半圆的面积即可解题．

【详解】

解：如图，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴BC= AC=2，S△ABC=AC×AB=×2×2=2．

又∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∴AD是斜边BC上的中线，

∴S△ABD=S△ABC=1．

∴S阴影=S半圆﹣S△ABD=π×12﹣1=﹣1．

故答案是：﹣1．

【点睛】

此题考查扇形面积的计算，解题关键在于得出S△ABD=S△ABC=1.

6．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是      ．

【答案】4﹣π．

【解析】

试题分析：连结AD，根据切线的性质得AD⊥BC，则S△ABC=AD•BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．

解：连结AD，如图，

∵⊙A与BC相切于点D，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=AD•BC，

∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF

=×2×4﹣

=4﹣π．

故答案为4﹣π．

考点：切线的性质；扇形面积的计算．

7．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是_.

【答案】2：1

【解析】

设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=πR，

则R与r的比是2：1，即圆锥的母线长与底面半径长之比是2：1．

8．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_____．

【答案】12．

【分析】

点A经过的路线长由三部分组成：以B为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以C为圆心，AC为半径旋转90°的弧长；以D为圆心，AD为半径旋转90°的弧长，利用弧长公式计算即可．

【详解】

解：如图，

故答案为：12．

【点睛】

本题的关键是弄清弧长的半径及圆心，圆心角的度数．

9．如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是     ．

【答案】240πcm2

【解析】

试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算这张扇形纸板的面积=×2π×10×24=240π（cm2）．

考点：圆锥的计算

题组C  培优拔尖练

1．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在-起，连接AC、BD．

（1）AC与BD相等吗?为什么?

（2）若OA=2cm，OC=lcm，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）AC=BD．理由见解析；（2）cm2．

【详解】

试题分析：（1）求证：AC=BD，则需求证△AOC≌△BOD，利用已知条件证明即可．

（2）从图中可以得S阴影就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．

试题解析：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD；

∴∠AOC=∠BOD；

∵，

∴△AOC≌△BOD；

∴AC=BD．

（2）解：根据题意得：S阴影=

=

=

=cm2．

考点：1.扇形面积的计算；2.旋转的性质．

2．如图，已知圆锥的底面半径为10 ，母线长为40 .

（1）求圆锥侧面展开图的圆心角；

（2）若一小虫从点A出发沿圆锥侧面绕行到母线CA的中点B处，求它所走的最短路程是多少？

【答案】（1）90°

（2）.

【分析】

（1）根据圆锥的弧长等于底面周长得到的圆锥的侧面展开图的圆心角；（2）最短路径应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度.

【详解】

（1） 设圆锥侧面展开图圆心角为n°

则

解得：n = 90°

（2）如图，由圆锥的侧面展开图可见，最短路径为AB，

利用勾股定理得 AB =

故小虫走的最短路径长为.

3．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB，被剪掉的阴影部分的面积是多少？

【答案】（m2）

【分析】

证出BC是圆O的直径，求出求得AC的值，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；

【详解】

解：连接BC，AO，

∵∠BAC=90°，OB=OC，
∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，

∵圆的直径为1

∴OC=OA=，
∴AC=

∴AC=BC=，
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=π•（）2-π•()2＝（m2）．

【点睛】

本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式，求出扇形的半径是解答本题的关键．

4．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：

（1）BC、AD的长；

（2）图中两阴影部分面积的和．

【答案】(1)2；（2）.

【分析】

（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．

【详解】

解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，

∴AB=4，

∴BC=，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠DCA=∠BCD

∴，

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；

（2）连接OC，OD，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，

∵OA=OB，

∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，

由（1）得∠AOD=90°，

∴∠COD=150°，

S△AOD=×AO×OD=×22=2，

∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．

【点睛】

考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．

5．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；

（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）.

【分析】

(1)连接OA、OD,如图,利用垂径定理的推论得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到

∠CAF= ∠CFA,然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=,则OA⊥AC,从而根据

切线的判定定理得到结论;

(2)设⊙0的半径为r,则OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到

,然后解方程即可;

(3)先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB=,则OA=,再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=,则∠AOE=,接着在Rt△OAC中计算出AC,然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积.

【详解】

（1）证明：连接OA、OD，如图，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，

在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），

即⊙O的半径为6；

（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，

∴△BOD为等腰直角三角形，

∴OB=BD=，

∴OA=，

∵∠AOB=2∠ADB=120°，

∴∠AOE=60°，

在Rt△OAC中，AC=OA=，

∴阴影部分的面积=••﹣=．

【点睛】本题主要考查圆、圆的切线及与圆相关的不规则阴影的面积，需综合运用各知识求解.

6．如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝，弦CD＝DE＝2，连接OB、OD，求图中阴影部分的面积和．

【答案】

【解析】

试题分析:根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．

试题解析:∵弦AB=BC，弦CD=DE，

∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，

∴∠BOD=90°，

过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．

则BF=FC=，CG=GD=1，∠FOG=45°，

在四边形OFCG中，∠FCD=135°，

过点C作CN∥OF，交OG于点N，

则∠FCN=90°，∠NCG=135°-90°=45°，

∴△CNG为等腰三角形，

∴CG=NG=1，

过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=，

在等腰三角形MNO中，NO=MN=2，

∴OG=ON+NG=3，

在Rt△OGD中，OD=，

即圆O的半径为，

故S阴影=S扇形OBD=．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．