人教版数学九年级上册同步讲义第21课旋转单元检测（教师版）

第21课  旋转单元检测

一、单选题

1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

【答案】A

【解析】

试题分析：根据轴对称图形（延某条直线对折能完全重合）与中心对称图形（绕一点旋转180°能完全重合）可以直接判断A符合条件，B均不是，C是中心对称，D是轴对称．

故选A

考点：轴对称图形与中心对称图形

2．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　)

A．时针不动，分针旋转了6°

B．时针不动，分针旋转了30°

C．时针和分针都没有旋转

D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小

【答案】D

【解析】

【分析】

根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小。

【详解】

时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D.

【点睛】

本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算。

3．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（     ）

A.        B.          C.         D.

【答案】C

【解析】本题主要考查了旋转。观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度．

解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度．

故选C．

4．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）

A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C

【答案】A

【详解】

试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；

若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；

若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．

故选A．

5．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3，）    B．（3，）    C．（，）    D．（，）

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．

【详解】

解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，

∴∠BE0=∠B′FO=90°，

∵四边形OABC是菱形，

∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，

∴∠AOC+∠C=180°，

∵∠C=120°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=30°，

∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，

∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，

∴∠B′OF=45°，

在Rt△B′OF中，

OF=OB′•cos45°=×=，

∴B′F=，

∴点B′的坐标为：（，-）．

故答案为：D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，S△ABC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A'恰好落在AB上，A'B′与BC交于点D，则S△A′CD为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先求出，根据旋转的性质得，，证明为等边三角形，得，则可计算出，，然后在△中利用含30度的直角三角形三边的关系得，，利用三角形面积公式求解即可．

【详解】

解：过作于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

绕点逆时针旋转至△，使得点恰好落在上，

，，

为等边三角形，

，

，

，

在△中，，

，，

△的面积．

故选：．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

7．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（  ）

A．（，1） B．（1，﹣） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）

【答案】B．

【解析】

试题分析：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出MQ=1，OM=，即可确定出Q的坐标为（1，﹣），故选B．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

8．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平移规律分别求出A2的坐标为和点A3的坐标为（1，5），根据旋转变换的性质求出旋转后A3的坐标．

【详解】

解：点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，则点A2的坐标为（1，2），

再向上平移4个单位到达点A3的位置，点A3的坐标为（1，5），

△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，

则旋转后A3的坐标为（-3，2），

故选B．

【点睛】

本题考查的是坐标与图形变化-平移、旋转，掌握平移规律、旋转变换的性质是解题的关键．

二、填空题

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．

【答案】．

【解析】

解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，

∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=1，

∴PP′=．

故答案为.

10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=    ．

【答案】5

【解析】

试题分析：作FG⊥AC，

根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，

∵点F是DE的中点，

∴FG∥CD

∴GF=CD=AC=3

EG=EC=BC=2

∵AC=6，EC=BC=4

∴AE=2

∴AG=4

根据勾股定理，AF=5．

考点：旋转的性质

11．将一个正六边形绕着其中心，至少旋转            度可以和原来的图形重合．

【答案】60．

【解析】

试题解析：∵正六边形的中心角==60°，

∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．

考点：旋转的性质．

12．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，∠BCD=45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是_____．

【答案】1．

【解析】

试题解析：如图，过D点作DG⊥BC于G，过E点作EF⊥AD交AD的延长线于F．

∠DGC="∠DFE=90°，∠GDC=∠FDE，"

在△CDG与△EDF中，

∵

∴△CDG≌△EDF．

∴EF=CG=3-2=1，即EF=GC=1．

∴△ADE的面积是×2×1=1．

考点：1．旋转的性质；2．直角梯形．

13．如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．

【答案】9

【分析】

根据旋转前后对应角相等可知:△FHP∽△FED, 又点P为斜面中点,FP=6cm, 在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长;把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差, 并且这两个三角形都与△ABC相似, 根据∠A=90, ∠C=30,BC=12cm, 求出对应边的长, 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可.

【详解】

解: 如图,

点P为斜边BC的中点,

PB=PC=BC=6,

△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90至△DEF的位置,

PF=PC=6, ∠FPC=90, ∠F=∠C=30,

PH=PF=6=2,

在Rt△CPM中, ∠C=30,

PM=PC=6=2,∠PMC=60,

∠FMN=∠PMC=60,

∠FNM=90,

而FM=PF-PM=6-2,

在Rt△FMN中, ∠F=30,

MN=FM=3-,

FN=MN=3-3,

△ABC与△DEF重叠部分的面积=-=62-(3-)(3-3)

=9 (cm).

【点睛】

本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识, 有一定难度, 注意相似三角形性质的熟练运用.

14．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．

【答案】3．

【分析】

根据题意得到，当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，从而求得CF的长．

【详解】

当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，

∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，

∴CF=AC﹣AF=4﹣=cm．

故答案为．

考点：正方形的性质；旋转的性质．

15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作:将线段OPo按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1 ；又将线段OP1按逆时针方向旋转，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，， 则

（1）点P5的坐标为        

（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是           ，（ n是8的整数倍.）

【答案】（1）（-16，-16）；（2）（2n，0）.

【详解】

试题分析：（1）由于点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1=2，那么P1的坐标为（，），又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2=4，那么P2的坐标为（0，4），由此类推P3的坐标为（-4，4），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16，-16）；

（2）如果通过旋转最后落在x轴正半轴上，由于每次旋转45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，那么旋转到点Pn的坐标可以求出了．

试题解析：（1）∵点P0的坐标为（1，0），

而将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，

∴线段OP1=2，

∴P1的坐标为（，），

又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，

∴线段OP2=4，

∴P2的坐标为（0，4），

由此类推P3的坐标为（-4，4），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16，-16）；

（2）∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，

∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，

并且每旋转一次OP扩大一倍，

∴OPn=2n，

∴旋转到点Pn的坐标为（2n，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．

考点：坐标与图形变化-旋转．

三、解答题

16．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．

【答案】PP′和PC的长分别为4，6

【分析】

△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，故∠PBP′=90°，BP′=BP=4，利用勾股定理可求出PP′=4，由AP=CP′=2，△PCP′为直角三角形即可求出PC.

【详解】

解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△PB P′是等腰直角三角形，
∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，PC===6．
答：PP′和PC的长分别为4，6．

【点睛】

此题主要考察旋转的性质.

17．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：

（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；

（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；

（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．

【答案】（1）∠BAE+∠CAD＝150°，理由见解析；（2）见解析；（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，∠MAN＝75°．

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和差即可得到结论；

（2）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论；

（3）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．

【详解】

（1）∠BAE+∠CAD＝150°．理由如下：

∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°；

（2）∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；

（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化．理由如下：

如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD．

∵AM，AN分别是∠∠BAD和∠CAE的平分线，∴∠MAD∠BAD＝30°∠CAD，∠NAC∠CAE＝45°∠CAD．

∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°∠CAD+∠CAD+45°∠CAD＝75°．

【点睛】

本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．

18．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108

【解析】试题分析：(1)、根据正方形的性质以及BE=DF得出△CBE和△CDF全等，从而得出答案；(2)、延长AD至F，使DF=BE．连接CF，然后证明△ECG和△FCG全等，从而得出GE=GF，从而得出答案；(3)、过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，根据(1)(2)得出DG=6，设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，根据Rt△AED的勾股定理求出x的值，最后根据四边形的面积= 得出答案.

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．   ∴CE＝CF．

（2）证明： 如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG．  ∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在四边形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG＝BC．  已知∠DCE＝45°，

根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．  所以10=4+DG，即DG=6.

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中，   ∵，即．

解这个方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）．  ∴AB＝12．

所以四边形ABCD的面积为S=

答：四边形ABCD的面积为108.

19．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是　   　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是　   　．（结果可以不化简）

【答案】（1）6；（2）2+2.

【分析】

（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．

【详解】

解：（1）如图2，

∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等边三角形，

∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案是：6．

（2）如图3，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，

∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，

∴A'C=PA+PB+PC，

∴A'C长度即为所求．

过A'作A'D⊥CB延长线于D．

∵∠A'BA=60°（由旋转可知），

∴∠1=30°．

∵A'B=4，

∴A1D=2，BD=2

∴CD=4+2；

在Rt△A1DC中，A1C=．

∴AP+BP+CP的最小值是：（或不化简为）．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．