人教版数学九年级上册同步讲义第20课《旋转》全章复习与巩固（原卷版）

第20课  《旋转》全章复习与巩固

知识点01  旋转

1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O            的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：

旋转的三个要素：        、        和        .

2.旋转的性质:

(1)对应点到旋转中心的        （OA= OA′）；　　

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于         ；　

(3)旋转前、后的图形        ；

要点诠释：

图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3. 旋转的作图:

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

要点诠释：

作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

知识点02特殊的旋转—中心对称

1.中心对称：

　把一个图形绕着某一个点旋转        ，如果它能够与另一个图形        ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：

　把一个图形绕着某一个点旋转        ，如果旋转后的图形能够与原来的图形        ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

(1)中心对称图形指的是        个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

知识点03平移、轴对称、旋转

平移、轴对称、旋转之间的对比

考法01   旋转

【典例1】如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.

①       请指出其旋转中心与旋转角度；

②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？

【即学即练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（ ）

　　A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.
　　B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.
　　C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.
　　D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.

考法02   中心对称

【典例2】如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．
　　⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
　　⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
　　⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；
　　⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，
　　　△______与△______成轴对称，对称轴是______；
　　　△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．
 

【即学即练2】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

考法03   平移、轴对称、旋转

【典例3】如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．

（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是　  　；∠EFD的度数为　   　；

（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；

（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．

【即学即练3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=，△ACD是等边三角形．
（1）求∠ABC的度数．
（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
（3）求BD的长度．

【典例4】如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．

（1）填空：线段BE、AF的数量关系为　  　，位置关系为　    　；

（2）当=时，求证：=2；

（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．

【典例5】已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC，

（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

(2)若，请说明点P必在对角线AC上.

【典例6】如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）

　　　　　　
　　小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.

⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；

⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.