北师大版圆柱的体积教学设计及反思

北师大版数学六年级下册

第一章 1.3圆柱的体积 教案

1教学目标评论

●结合具体情境，学生通过主动探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。

●学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，渗透数学思想，体验数学研究的方法。

●通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和挑战性。在数学活动中，学生体验数学的乐趣。养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯

2学情分析评论

       学生经过六年的学习，熟悉了学习几何图形体积和面积的基本方法——“类比猜想（或估计）—验证说明”。新教材注重学生动手操作能力的培养，因此，六年级学生已具有一定的动手操作能力。学生已学习了长方体和正方体的体积，初步理解了体积和容积的含义，掌握了长方体和正方体的体积计算方法，特别是长方体和正方体的体积计算公式“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有正迁移的作用。

3重点难点评论

掌握和运用圆柱体积计算公式。

圆柱体积计算公式的推导过程。

4教学过程

活动1【导入】一、情境引入，感知体积评论

同学们，在我们生活中圆柱体随处可见。看，这是美味可口的生日蛋糕，是一个圆柱体，这是蓝山咖啡的包装罐也是圆柱体，就连人民大会堂正门前的柱子、以及神州十号的轨道舱，这些都是圆柱体。

同学们，它们为什么都设计成圆柱体呀？

预设：圆柱体没有棱角,安全性好。另外由于人的视觉效应,圆柱比立方柱看着更舒服,给人比较舒服的感觉,用处现在越来越体现在建筑上。圆柱体的罐子，拿起来更方便。

是呀，正是因为圆柱体有这么多的优点，在我们的生活中才会随处可见。图片中的这些圆柱体都一样大吗？

生日蛋糕有多大？用手比划比划。咖啡罐呢？人民大会堂的柱子呢？神舟十号的轨道舱呢？

这是它们大概的比例。

这些圆柱体所占空间的大小都不相同，也就是它们的体积有大有小，今天我们就来一起研究圆柱的体积。（板书课题：圆柱的体积）

活动2【讲授】二、自主探究，实践操作评论

1、进入主题，回忆旧知

看，同学们！老师为你们带来了五个圆柱体。（一一呈现）它们是，1号圆柱：圆柱形水杯。2号圆柱：橡皮泥捏成的圆柱体。还有神秘的3号圆柱（底面最大，高与4号相同）、4号圆柱（底面与5号相同，高与4号相同）和5号圆柱（底面与5号相同，高最大）。

你有什么办法求出它们的体积？

出示1号圆柱，圆柱形水杯能装到多少水？

预设：把水倒入长方体容器中，量出长、宽、高数据后再计算。说一说长方体体积的计算公式，并板书：

长方体体积＝底面积×高

出示2号圆柱体，你有什么办法求出这个圆柱体橡皮泥的体积呢？

预设1：有的学生会想到，将它捏成长方体就可以了；

预设2：还有的学生会想到捏成正方体也可以；

预设3：还有的学生也许会想到把圆柱体橡皮泥放进水里，看排出水的体积多少确定橡皮泥的体积等等。

1号和2号这样圆柱体，可以通过改变形状，将圆柱转化成我们学过的长方体和正方体，然后再计算。

2、探究圆柱的体积与哪些要素有关

同学们，现在问题来了，这三个神秘的圆柱体的体积是多少呢？

观察这三个圆柱体有什么特点？

预设：3号和4号高相同，5号高最大。

我们换个角度再观察一下这三个圆柱体。

预设：4号与5号底面相同，3号底面最大。

这三个圆柱体的体积能比较吗？说说你的想法？

预设：当底面积相等时，圆柱越高体积越大；当高相等时，圆柱底面越大体积越大。即圆柱的体积的大小与它的底面积和高有关，这是决定圆柱体积大小的两个因素。（板书：底面积、高）

3、启发思考，大胆猜测

看来，圆柱的底面积和高决定它的大小。那么，在这三个圆柱中谁的体积最小？

预设：4号的底面积和高都最小，它的体积就最小。

那么3号和5号哪个更大一些呢？能直接比较出来吗？

如果要准确的知道哪个圆柱的体积大，大多少？我们应该如何计算圆柱的体积呢？

回忆一下，圆柱体和我们以前学过的哪些几何图形有联系？

预设：圆柱的上下两个底面是圆形，侧面展开是长方形，所以我觉得和圆的面积有关。

请大家回忆一下：在学习圆的面积时，我们是怎样将圆转化成已学过的图形，来推导出圆面积公式的？（演示课件）

大部分图形公式的推导都可以把未学的转化为学过的。那么你觉得圆柱体能转化成什么立体图形？大胆猜测一下？

预设：由圆的面积推导过程想到把圆柱体转化为长方体或正方体。

4、操作实验，验证猜测

大家同意他的猜想吗？他的这种判断利用了“直观感知”（板书）。

一个圆形可以转化成一个长方形，那么无数个圆形叠放在一起就会转化成长方体。

但是，猜想毕竟是猜想，我们还是要通过实验，验证我们的猜想。接下来同学们以小组为单位拿出圆柱体的萝卜和小刀，按照你们的设想动手尝试着做一做，并填写完成实验报告，然后说一说转化的过程。温馨提醒：使用小刀一定要注意安全！操作时要注意桌面的整洁。

出示操作探究问题：

①你们小组打算把圆柱转化成一个什么图形？

②你们是怎样实践的？            

学生小组活动，教师参与其中，倾听学生的观点。

活动3【活动】三、汇报交流，评价质疑评论

1、汇报交流，等积变形

好了，同学们，坐直的身影表示你已经完成了。

谁来说说看，刚才的探究实验中，你们小组通过什么办法把圆柱体转化成了我们以前学过的立体图形？

预设：我们小组通过分割再拼接的方法将圆柱体转化成一个近似长方体。

你愿意将你的操作过程和大家分享吗？（投影展示）

预设： 我们小组利用圆面积的推导方法，把圆柱的底面沿直径平均分成若干份，然后把圆柱体再沿高切开，接着拼接在一起，组成一个近似的长方体。

教师随机演示课件：把一个圆柱体切成16份，再拼成一个近似的长方体。（演示课件）

方法小结：刚才同学们用转化的方法将圆柱体转化成近似的长方体，那么长方体与圆柱体的各部分之间又有什么关系呢？下面请同学们再次合作探究，看看你能有什么新发现！

2、二次探究，推导公式                             

出示探究问题：

①圆柱的体积与拼成后的长方体的体积有什么关系?

②长方体的底面积与圆柱的底面积有什么关系?

③长方体的高与圆柱体的高有什么关系？

3、汇报交流，得出结论

坐直的身影表示你们已经讨论完成了。

预设1：把圆柱拼成长方体后，形状变了，体积不变。

（板书：长方体的体积=圆柱的体积）

预设2：拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。

（配合回答，演示课件，并板书相应的内容。）

长方体的体积＝底面积×高

‖       ‖    ‖

圆柱体的体积＝底面积×高

刚才我们的这种探究方法，叫做“等级变形”（板书），将圆柱体转化成体积相等的长方体。

    一起看公式，底面积我们用字母S表示，高用字母h表示，所以圆柱体的体积可以用字母表示成V=Sh。我们学过的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。 字母表示为  ， ， 。

4、三个神秘圆柱体

还记得，刚才那三个神秘的圆柱体吧？

想求出它们的体积吗？

要求出体积，必须要有数据。说说看，我们测量哪些数据可以求出它们的体积。

预设：已知圆柱体的底面半径和高可以求，已知圆柱体的底面直径和高可以求，已知圆柱体的底面周长和高也可以求出它们的体积。

是的，已知圆柱体的底面半径和高，根据半径先算圆柱体的底面积，再计算圆柱体的体积。

已知圆柱体的底面直径和高，根据直径先算圆柱体的底面积，再计算圆柱体的体积。

已知圆柱体的底面周长和高，根据底面周长先算圆柱体的底面积，再计算圆柱体的体积。

同学们，猜猜看三号圆柱体，我们已知哪些数据?老师测量了它的底面直径和高，直径10cm和高9cm。

猜猜看四号我们已知哪些数据? 老师测量了它的底面半径和高，半径3cm和高9cm。

猜猜看四号我们已知哪些数据? 老师测量了它的底面周长和高，周长18.84cm和高12cm。

它们的数据出现了，能计算它们的体积吗？

我们分组完成它们的体积，第一大组完成三号，第二大组完成四号，第三大组完成五号。

都完成了吧！说说看三号圆柱体你是怎样计算的？

预设:我观察到三号圆柱体，已知底面直径和高，先算底面积，再算体积，三号圆柱体的体积是706.5立方厘米。

预设:我观察到四号圆柱体，已知底面半径和高，先算底面积，再算体积，四号圆柱体的体积是254.34立方厘米。

预设:我观察到五号圆柱体，已知底面周长和高，先算底面积，再算体积，五号圆柱体的体积是339.12立方厘米。

想知道它们是什么物体吗？

3号是罐头，4号是红牛，5号是可乐。

什么感觉？

预设：体积差很多，罐头矮胖，但是体积较大，可乐瘦高，但是体积小。

又矮又胖的可乐见过吗？又瘦又高罐头见过吗？

这是因为罐头是为了在长途旅行或自然灾害来临时，方便长期贮存食品。又矮又胖的圆柱体，体积更大，储存的食物更多。而可乐是在运动或就餐时，随手就能喝到饮料。又瘦又高的圆柱体，拿着更方便，携带起来更容易。

之前我们通过直观感知，觉得它们的体积差不多，没想到差这么多，三号是五号体积的一倍还多。看来有时候直观感知是不准确的，需要实际计算来验证。

活动4【活动】四、抽象概括，总结提升评论

1、类比思想，巩固认识

同学们，刚才我们通过类比与猜想，不知不觉中便探究出圆柱体的公式。回忆一下我们是怎样进行实践探索的。

我们首先将圆柱体类比成长方体，再根据长方体体积的计算方法猜想圆柱体体积的计算方法，从而解决圆柱体体积的这个问题。

这种数学思想是我们根据已有的知识探索未知事物的重要途径。同学们，你们能说一说刚才我们的探索过程，完成屏幕上的填空吗？自己在题卡上填一填，谁愿意到屏幕上做。

圆柱体通过切拼，圆柱体转化成近似的长方体。这个长方体的底面积等于圆柱体的（    ），这个长方体的高等于圆柱体的（   ）。因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以，圆柱体的体积计算公式是：（       ），用字母表示为：（          ）。

2、祖暅原理，触类旁通

同学们，你们发现了吗？圆柱体、长方体和正方体它们的体积公式都是底面积乘以高。这是因为它们平行于底面的面积，处处都相等。其实早在1500多年前的南北朝时期，就被我国古代杰出的数学家祖暅首先提出来的，并命名为“祖暅原理”。

请看屏幕，谁给大家介绍一下？

著名的“祖暅原理”，由祖冲之的儿子祖暅，总结了刘徽的有关工作，祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。

我们利用“祖暅定理”，可以解决许多问题，像这样平行底面的面积处处相等的立体图形，体积都可以写成V=Sh。今天的圆柱体积是这样，以后将要学到的棱柱也是这样。

活动5【练习】五、巩固应用，拓展提高评论

祖暅厉害吧？我觉得你们也很厉害，在这么短的时间里就解决了圆柱体积的计算方法。我们来做一组判断题，检验一下自己的学习成果。

1、判断正误，对的画“√”，错误的画“×”。

（1）圆柱体的底面积越大，它的体积越大。（   ）

（2）圆柱体的高越长，它的体积越大。（    ）

（3）圆柱体的体积与长方体的体积相等。（    ）

（4）圆柱体的底面直径和高可以相等。（     ）

2、练一练

还记得刚开始上课时，你们比划不出的那个神州十号的轨道舱吧！假设这个轨道舱就在你的面前，你会测量哪些数据，计算它的体积？讨论一下？

预设1：测量直径和高或测量半径和高。

你测量的直径或半径一定会经过圆心吗？

预设2：可以测量底面周长和高，因为直径或半径无法确定是否经过圆心，而测量底面周长就比较准确了。

老师查阅了相关数据，轨道舱的底面周长是约9米，长约是4米。这里的长指的是什么？

让我们一起计算神州十号轨道舱的体积，结果保留整数。

结果约是26立方米，咱们的教室大于150立方米，神州十号的轨道舱大约是咱们教室的六分之一。

活动6【作业】六、总结延伸，深入探究评论

今天这节课我们都有哪些收获？

预设：我们主要研究了圆柱体体积公式的推导，学会了运用公式进行计算，同时我们也了解了一些常用的数学思想方法。

我们知道在圆柱体切拼成一个近似的长方体后，体积不变，形状变了。但你知道除了形状变了，还有什么变化了吗？比如你们可以课下继续深入研究一下：表面积是否会发生变化？将你的想法发表在班级主页上。