2023年陕西省西安市碑林区铁一中滨河学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年陕西省西安市碑林区铁一中滨河学校中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −12023的绝对值是( )
A. −2023B. 2023C. 12023D. −12023
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 在下列运算中，计算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (a2)3=a5C. a2+a2=2a4D. (ab2)2=a2b4
4. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=77°，则∠2的度数为( )
A. 42°
B. 37°
C. 32°
D. 7°
5. 已知函数y=(1−3m)x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是( )
A. m>13B. m<13C. m>1D. m<1
6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12,13)，则点C的坐标是( )
A. (0,−8)
B. (0,−5)
C. (−5,0)
D. (0,−6)
7. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=30°，AB=8，CD的长为( )
A. 2
B. 23
C. 4
D. 43
8. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过点A(2,0)，B(−4,0)两点，下列五个结论：其中正确的结论有几个( )
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=−3；
②若点C(x1,y1)，D(x2,y2)在该抛物线上，且x1y2；
③若点(m,n)在抛物线上，则n+b≤a+c；
④3b>−2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 分解因式：27x2−3=______．
10. 如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC= ．
11. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是100，则最后输出的结果为______．
12. 如图，A，B是双曲线y=kx(x>0)上的两点，连接OA，OB.过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m,2)，则m的值为______．
13. 如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点F为AD边的中点，点E在BC边上，且BE=13BC.若S1、S2分别表示△AOE和△FOD的面积，则S1：S2=______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
14. 解方程：2xx−1=1−21−x．
四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算：2cs60°−(−13)−2+|2−3|．
16. (本小题5.0分)
解不等式组5x+2>3(x−2),12x−1≤6−3x.
17. (本小题5.0分)
如图，点A、B是直线MN外同侧的两点，请用尺规在直线MN上求作一点P，使得∠APM=∠BPN.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD/​/AB，BC=DE，且BC⊥DE．
求证：AB=CE．
19. (本小题5.0分)
世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
20. (本小题5.0分)
甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时．
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率；
(2)请通过列表格或画树状图的方式求出乙取胜的概率为多少？
21. (本小题6.0分)
如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE=2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM=21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．
22. (本小题7.0分)
“共和国勋章”获得者袁隆平，花费毕生精力，研究杂交水稻，造福世界人民.某学校为了调查学生对“杂交水稻”知识的了解程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果共分为四个等级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解.将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查样本容量是多少？
(2)直接补全条形统计图；
(3)若该校共有2000名学生，请你估计该校比较了解“杂交水稻”知识的学生的人数．
23. (本小题7.0分)
甲、乙两地的路程为240千米，一辆汽车早上9：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速度继续前行，当离甲地路程为180千米时接到通知，要求中午13：00准时到达乙地.设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
24. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O于点D，延长BA到点P，使得PE=PC．
(1)求证：PC与⊙O相切；
(2)若⊙O的半径3，PC=4，求CD的长．
25. (本小题8.0分)
如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值．
26. (本小题10.0分)
如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．
(1)求矩形ODEF的面积；
(2)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°，若旋转过程中OF与OA的夹角(图2中的∠FOA)的正切的值为x，两个矩形重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式；
(3)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−12023的绝对值是12023．
故选C．
根据绝对值的定义解决此题．
本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a2=a3+2=a5，因此选项A不符合题意；
B.(a2)3=a2×3=a6，因此选项B不符合题意；
C.a2+a2=2a2，因此选项C不符合题意；
D.(ab2)2=a2b4，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项逐项进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：如图：

∵AB/​/CD，∠1=77°，
∴∠EFC=∠1=77°，
∵∠EFG=45°，
∴∠2=∠EFC−∠EFG=77°−45°=32°．
故选：C．
利用平行线的性质可得∠EFC=77°，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=(1−3m)x中，y随x的增大而增大，
∴1−3m>0，解得m<13．
故选：B．
先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大．
6.【答案】B
【解析】解：∵A(12,13)，
∴OD=12，AD=13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=13，
在Rt△ODC中，OC=CD2−OD2=132−122=5，
∴C(0,−5)．
故选：B．
在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】解：由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=60°，
∵⊙O的直径AB=8，
∴OC=12AB=4，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD，∠OCE=30°，
∴OE=12OC=2，CE=3OE=23
∴CD=2CE=43．
故选：D．
由圆周角定理得出∠BOC=2∠A=60°，根据垂径定理得出CE=DE，由直角三角形的性质得出OE=2，CE=23，即可得到结论．
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理好直角三角形的性质求出CE是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过点A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=−4，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过点A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴抛物线对称轴为直线x=−4+22=−1，
∵a<0，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵x1∴点C离对称轴的距离比点D离对称轴的距离远，
∴y1∵抛物线对称轴为直线x=−1，
∴抛物线的最大值为a−b+c，
∵(m,n)在抛物线上，
∴n=am2+bm+c≤a−b+c，
∴n+b≤a+c，故③正确；
∵对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴4b+c=0，
∴3b+2c+b−c=0，
∴3b+2c=c−b，
∵函数开口向下，且经过点A(2,0)，B(−4,0)，
∴当x=0时，y=c>0，
∴3b+2c=c−b>0，即3b>−2c，故④正确；
将抛物线y=ax2+bx+c向下平移p个单位长度得到的二次函数解析式为y=ax2+bx+c−p，
函数y=ax2+bx+c−p对应的一元二次方程为ax2+bx+c−p=0，即ax2+bx+c=p，
因此，若一元二次方程ax2+bx+c=p的根为整数，则其根只能是x1=1，x2=−3或x1=0，x2=−2或x1=x2=−1，
∴对应的p的值只有三个，故⑤错误．
故选：A．
根据二次函数与一元二次方程的联系即可判定①；求出对称轴为x=−1，进而得到离对称轴越远函数值越小，再由x10，即可判断④；先将抛物线y=ax2+bx+c向下平移p个单位长度得到的二次函数解析式为y=ax2+bx+c−p，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可判断⑤．
本题考查了二次函数与系数的关系，抛物线与坐标轴交点问题，二次函数图象的性质，根据二次函数图象的对称性求解是解题的关键．
9.【答案】3(3x+1)(3x−1)
【解析】解：27x2−3
=3(9x2−1)
=3(3x+1)(3x−1)．
故答案为：3(3x+1)(3x−1)．
直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
10.【答案】115°
【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=115°．
故答案为：115°．
根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=12∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=50°即可求出∠BFC的度数．
本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
11.【答案】400
【解析】解：把100输入得：100×|−12|÷[−(12)2]
=100×12÷(−14)
=−200<100，
把−200代入得：−200×|−12|÷[−(12)2]
=−200×12÷(−14)
=400>100，
输出结果为400．
故答案为：400．
输入100经过计算后得出结果与100比较，如果大于100就输出结果停止计算，如果小于100则将计算结果重新代入进行计算，继续比较，直到计算结果大于100，然后输出．程序框图题需要先读懂程序的运行原理在进行相应的计算．
本题考查有理数的混合运算，以及有理数的大小比较．准确计算是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵D为AC的中点，△AOD的面积为3，
∴△AOC的面积为6，
∴k=12=2m．
解得：m=6．
故答案为：6．
应用k的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为△AOC的面积．
13.【答案】43
【解析】解：连接AC，

∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴点O是AC的中点，
∴S△AOD=12S△ADC=14S▱ABCD，
∵点F为AD边的中点，
∴S△DOF=12S△AOD=18S▱ABCD，
∵BE=13BC，
∴S△AEC=23S△ABC=13S▱ABCD，
∵AO=CO，
∴S△AEO=16S▱ABCD，
∴S1：S2=43，
故答案为：43．
由平行四边形的性质和中心对称的性质可得点O是AC的中点，可求S△DOF=12S△AOD=18S▱ABCD，S△AEC=23S△ABC=13S▱ABCD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是解题的关键．
14.【答案】解：方程两边同乘(x−1)得：2x=x−1+2，
解得x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
则x=1是增根，所以原方程无解．
【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．
先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到答案．
15.【答案】解：原式=2×12−9+2−3
=1−9+2−3
=−6−3．
【解析】先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
16.【答案】解：由5x+2>3(x−2)，得：x>−4，
由12x−1≤6−3x，得：x≤2，
则不等式组的解集为−4【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图所示：
如图1，以A为圆心，以AB为半径画圆，交直线MN于B′′，过A作BB′′的垂线交MN于P，则∠APM=∠APB；
如图2，以A为圆心，以AB为半径画圆，交直线MN于B′，过A作BB′的垂线交MN于P，则∠APM=∠APB．
【解析】以A为圆心，以AB为半径画圆，交直线MN于B′和B′′，根据垂径定理过A作BB′和BB′′的垂线，可得点P．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线的性质及等腰三角形三线合一的性质．
18.【答案】证明：如图，

∵BA⊥AC，CD/​/AB，
∴∠A=90°，CD⊥AC，
∴∠ECD=90°=∠A，
∵BC⊥DE，BA⊥AC，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠B=∠1，
在△ABC和△CED中，
∠A=∠ECD∠B=∠1BC=DE，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE．
【解析】根据垂直的定义、直角三角形的性质得到∠ECD=90°=∠A，∠B=∠1，即可利用AAS证明△ABC≌△CED，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△CED是解题的关键．
19.【答案】解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为(150−x)元，
依题意得：50%x+60%(150−x)=80，
解得：x=100，
150−100=50(元)．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%(150−x)=80.属于基础题，难度不大，解决该类题目时，根据数量关系列出方程(或方程组)是关键．
设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为(150−x)元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×折率+《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
20.【答案】解：(1)设A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，
列表如下：
由表格可知，共有25种等可能的结果，甲伸出小拇指取胜只有一种可能，
故P(甲伸出小拇指获胜)=125；
(2)由表格可知，共有25种等可能的结果，乙取胜有5种可能，
故P(乙获胜)=525=15．
【解析】(1)首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，求出甲伸出小拇指取胜的概率；
(2)首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，即可得出乙取胜的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFDE=BCCD=23，
∴BC=23CD．
∵AM=CD=21m，
∴BC=14m，
∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m)．
答：树高15.6m．
【解析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
22.【答案】解：(1)20÷10%=200(人)．
答：本次调查样本容量是200．
(2))“D组”的人数为：200×10%=20(人)，
“B组”的人数为：200−20−20−80=80(人)，
补全条形图如图所示：

(3)2000×80200=800(人)．
答：该校比较了解“杂交水稻”知识的学生人数约800人．
【解析】(1)从两个统计图中可知，“A组”的有20人，占调查人数的10%，根据频率=频数总数即可求出调查人数；
(2)求出“B组”“D组”的人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中“比较了解杂交水稻”所占的百分比，进而根据总体中“比较了解杂交水稻”所占的百分比，求出相应的人数．
本题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，掌握频率=频数总数是解题的关键．
23.【答案】60
【解析】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为60千米/小时；
故答案为：60；
(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(180−60)÷60=2(小时)，
∴点E的坐标为(3.5,180)，
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b，则：
1.5k+b=603.5k+b=180，
解得k=60b=−30，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y=60x−30(1.5≤x≤3.5)；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：240÷60+0.5=4.5(小时)，
12：00−8：00=4(小时)，
4.5>4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
(2)根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
(3)求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∵PE=PC，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠OED，
∴∠PCE=∠OED，
∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°，
∵OC是⊙O的半径，且PC⊥OC，
∴PC与⊙O相切．
(2)解：∵如图，连接BD，
∵∠PCA+∠OCA=90°，∠B+∠OAC=90°，∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴PAPC=PCPB=ACCB，
∴PC2=PA⋅PB，
∵OA=OB=3，PE=PC=4，
∴AB=6，
∴42=PA(PA+6)，
∴PA=2或PA=−8(不符合题意，舍去)，
∴AE=PE−PA=4−2=2，
∵ACCB=PAPC=24=12，
∴CB=2AC，
∴AC2+(2AC)2=AB2=62，
∴AC=655，
∵∠BOD=2∠BCD=90°，OB=OD=3，
∴BD=OB2+OD2=32+32=32，
∵∠BCD=∠ECA，∠CDB=∠CAE，
∴△CDB∽△CAE，
∴CDAC=BDAE，
∴CD=AC⋅BDAE=655×322=9105，
∴CD的长是9105．
【解析】(1)连接OC、OD，先证明∠AOD=2∠ACD=90°，再证明OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°，即可证明PC与⊙O相切；
(2)连接BD，先证明△PAC∽△PCB，得PAPC=PCPB=ACCB，所以PC2=PA⋅PB，即可求得PA=2，则AE=PE−PA=2，所以ACCB=PAPC=12，可求得AC=655，再由勾股定理求得BD=32，然后证明△CDB∽△CAE，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CD=9105．
此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，
∴8+4b+c=0c=0，
∴b=−2c=0，
∴二次函数解析式为y=12x2−2x；
(2)①证明：①∵点C是二次函数的顶点，O、A关于二次函数对称轴对称，
∴点C在线段OA的垂直平分线上，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO，
由折叠的性质可知∠CA′B=∠CAB，
∴∠DA′B=∠DOC，
又∵∠ODC=∠A′DB，
∴△OCD～△A′BD；
②解：由折叠的性质可得BA=BA′，
∵△OCD～△A′BD，
∴BA′BD=OCCD，
∴BDBA=CDOC，
∴要使BDBA最小，即要使CDOC最小，
∴当CD最小时，BDBA最小，
∴当CD⊥OA时，BDBA最小，
∵二次函数解析式为y=12x2−2x=12(x−2)2−2，
∴C(2,−2)，
∴D(2,0)，
∴OD=2，CD=2，
∴OC=OD2+CD2=22，
∴BDBA=CDOC=22．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①先证明OC=AC，得到∠COA=∠CAO，由折叠的性质可知∠CA′B=∠CAB，则∠DA′B=∠DOC，再由∠ODC=∠A′DB，即可证明△OCD～△A′BD；
②由折叠的性质可得BA=BA′，由相似三角形的性质得到BA′BD=OCCD，则BDBA=CDOC，进而推出当CD⊥OA时，BDBA最小，求出C(2,−2)，则D(2,0)，求出CD=2,OC=22，即可得到答案．
本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=116S矩形ABCO=116×4×43=3；
(2)∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43，
∴OF=3，OD=1，
∴tan∠FOE=33，
①当0≤x≤33时，重叠部分是直角三角形，
y=12OF⋅OFtan∠FOA=12×3×3x=32x；
②当x>33时，重叠部分是四边形，
y=OD⋅OF−12OD⋅OD1tan∠FOA=1×3−12×1×1x=3−12x；
(3)存在．
∵OE=OF2+OD2=32+12=2，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=AB2+BC2=42+(43)2=8，
∴8h=4×43，
解得h=23，
∴当点E到AC的距离为23+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为23−2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=12×8(23+2)=83+8，
S最小=12×8(23−2)=83−8．
【解析】(1)根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；
(2)先求出矩形ODEF的边长为1、3，再分①当0≤x≤33时重叠部分是直角三角形和②当x>33是重叠部分是四边形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解；
(3)旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题综合性较强，主要利用了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键．
A
B
C
D
E
A
AA
AB
AC
AD
AE
B
BA
BB
BC
BD
BE
C
CA
CB
CC
CD
CE
D
DA
DB
DC
DD
DE
E
EA
EB
EC
ED
EE