2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，直线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在下列条件中，能够判定▱为菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  直线与轴交于点，与轴交于点，已知点在直线上，求的面积(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，周长为的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是半圆的直径，点为半圆上一点，是的中点，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知抛物线，点、、、均在此抛物线上，且，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  实数、、、中，无理数有______ 个

10.  若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是______．

11.  如图是边长为的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是______．

12.  如图，矩形的面积为，点、分别为反比例函数和图象上的点，若是的中点，则的值为______．

13.  如图所示，在平行四边形中，，，，是的中点，于点，则的面积为______ 平方单位．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算．

15.  本小题分
化简．

16.  本小题分
解方程．

17.  本小题分
如图，用尺规在的边上找一点，使：：保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证：．

19.  本小题分
如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽厘米的长条如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？

20.  本小题分
年月日，陕西省第十九届“春芽杯”艺术展演部分项目在某校举行，该校初一年级选派名去愿者参加该艺术展演的引导工作，其中男生人，女生人．
若从这人中通过抽签选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______ ．
某项工作需要在甲、乙两人中选一人，他俩以游戏方式决定谁参加规则如下：将张点数分别为，，，的扑克牌和匀后，背面朝上放于桌面，从中任取张，若点数之和为奇数，则甲去；否则乙去，这个游戏公平吗？请说明理由．

21.  本小题分
长沙是著名的国际旅游城市，我市有，，，，五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游只选一个景区的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人，______，并补全条形统计图；
求所占的圆心角度数；
若该小区有居民人，试估计去地旅游的居民约有多少人？

22.  本小题分
位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为求观星台最高点距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，．
 

23.  本小题分
随着“新年”临近，儿童礼品开始热销，某厂每月固定生产甲、乙两种礼品共万件，甲礼品每件成本元，乙礼品每件成本元，现甲礼品每件售价元，乙礼品每件售价元，且都能全部售出．
若某月甲礼品的产量为万件，总利润为万元，写出关于的函数关系式．
如果每月投入的总成本不超过万元，应怎样安排甲、乙礼品的产量，可使所获得的利润最大？

24.  本小题分
如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，交于，连接，，，且．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
求抛物线的函数表达式；
是直线上一动点，为抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请求出点的坐标．

26.  本小题分
问题提出
如图，在中，，，平分，，则点到的距离为______ ．
问题探究
如图，在中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积．
问题解决
市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
根据互为倒数的两个数乘积为即可求解．
本题考查的是倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
故选：．
根据三角形外角的性质，，欲求，需求根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
不能合并为一项，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘法与积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由，不能判定▱为菱形，故选项A不符合题意；
B、由，能判定▱为菱形，故选项B符合题意；
C、由，不能判定▱为菱形，故选项C不符合题意；
D、由，能判定▱为矩形，不能判定▱为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
把、代入到中得：，
，
函数的解析式为；
令，则，
，
，
．
故选：．
把、代入到中进行求解即可；求出点，可得，根据三角形的面积公式可求出的面积．
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
平行四边形对角线、交于点，且，
，，
，
．
又，
中，，
的周长，
故选：．
依据平行四边形的周长为，即可得到，再根据，，，即可得到的周长．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据是的中点，可得，利用等腰三角形的性质得的度数，由同弧所对的圆心角是圆心角的倍可得的度数，最后根据同圆的半径相等及等腰三角形的性质可得结论．
本题考查了考查了圆周角定理和弧，弦，圆心角的关系，熟练掌握这些定理是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点、均在此抛物线上，
，
抛物线的顶点坐标为，
小于，
顶点只能是最低点，
，开口向上，
、均在此抛物线上，且，
，
故选：．
先求得抛物线的对称轴为，再抛物线开口向上，最后根据判断离对称轴比较近，从而判断出与的大小关系．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
是无理数，共个．
故答案为：．
根据无理数的概念进行解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：多边形外角和是度，正多边形的一个外角是，

即该正多边形的边数是．
根据多边形外角和是度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
主要考查了多边形外角和是度和正多边形的性质正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：房屋的面积，
故答案为：．
根据七巧板的构成，两个大三角形分别占大正方形的，一个中三角形占正方形的，一个小正方形占正方形的，一个平行四边形都是占正方形的，两个小三角形分别占正方形的，即可解答．
本题主要考查七巧板，根据图形之间的关系得出面积之间的关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，
四边形是矩形，是的中点，
，
，，
点、分别为反比例函数和图象上的点，
，，
矩形的面积为，
，
，，
，
故答案为：．
设，则，，利用反比例函数解析式表示出，，即可求解．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、矩形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，延长和交于点，
在平行四边形中，，

，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形对边平行可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再解直角三角形求出、，求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查完全平方公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】解：．
去分母，得，
去括号，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解． 

【解析】解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．依此即可求解．
考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解．将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
 

17.【答案】解：如图，作的平分线交于点，
则点为所作．
 

【解析】作的平分线交于点，则点到和的距离相等，所以根据三角形面积公式得到：：．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和三角形的面积．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据线段的和差得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：设正方形的边长是平方厘米，依题意有
，
解得，
则．
故每一个长条的面积为平方厘米． 

【解析】显然要设正方形的边长是平方厘米，根据“两次剪下的长条面积正好相等”这一关系列出方程即可求解．
考查了一元一次方程的应用，此题注意：第一次剪完后，剩下的这边为厘米．
 

20.【答案】 

【解析】解：从这人中通过抽签选取一人作为联络员，则选到女生的概率为．
故答案为：；

这个游戏公平．理由如下：

共有种等可能结果．其中点数之和为奇数的有种，
点数之和为奇数的概率是，
甲去的概率是，乙去的概率是，
，
这个游戏不公平．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】   

【解析】解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，
则，即，
景区人数为人，
补全条形图如下：

故答案为：；；
，
故E所占的圆心角度数为；
人，
答：去地旅游的居民约有人．
先由景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
用乘所占比例即可；
利用样本估计总体思想求解可得．
此题考查了扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．
 

22.【答案】解：过作于，延长交于，
则四边形，四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
答：观星台最高点距离地面的高度约为． 

【解析】过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到答案．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

23.【答案】解：设生产甲礼品万件，乙礼品万件，
由题意得：；

设生产甲礼品万件，乙礼品万件，所获得的利润为万元，
由题意得：，
，
利润，
随增大而增大，
当万件时，有最大值万元．
这时应生产甲礼品万件，乙礼品万件． 

【解析】设生产甲礼品万件，乙礼品万件，根据利润售价成本销量列出函数关系式即可；
设生产甲礼品万件，乙礼品万件，所获得的利润为万元，根据成本不超过万元求出的取值范围，然后根据结果求的最大值；
本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数最大值的方法．
 

24.【答案】解：如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
设的半径，
，，，
，
在直角三角形中，
，
解得：，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，由得到，由得到，这样即可证明，再根据平行线的性质证出，从而得证．
根据正弦的定义求出，设半径为，在直角三角形中根据，列方程求出的值，将的值代入即可．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，经过，
，
把，代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式：；
，，
，
，
存在两种情况，
如图所示：


取点与重合，过点作轴，交直线于点，
，，
为等腰直角三角形，
与；
取点，连接，延长交抛物线点，
点，关于轴对称，
，
，，
为等腰直角三角形，
轴，
为等腰直角三角形，
点，点，
直线的函数表达式：，
联立直线和抛物线组成方程组，
解得，，
，
综上所述：点的坐标，． 

【解析】根据对称轴公式求出，用待定系数法求出解析式；
根据，，分两种情况分别论述，取点与重合，过点作轴，交直线于点，取点，连接，延长交抛物线点，求出直线的函数表达式：，联立直线和抛物线组成方程组，求解，得到点的坐标．
此题考查了待定系数法求解析式、二次函数综合知识，掌握二次函数综合知识的应用是解题关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图中，作于．

在中，，，，
，
，
平分，
，
，，
≌，
，，
平分，
，
，
设，
在中，
，
，
解得：，
，
故答案为：．

如图中，作于，于，连接．

，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
≌，
，，
在中，，，，
，，
，
，
解得：，
；

存在．如图中，作于，于．

，，
，
，
，，
≌，
，，
，，
平分，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
中，是角平分线，，是定值，
当是的高时，的面积最小，此时．
的面积的最小值．
如图中，作于证明≌，推出，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题．
如图中，作于，于，连接≌，推出，，再利用面积法求出，的长即可解决问题．
存在．如图中，作于，于利用全等三角形的性质证明是角平分线，求出的值，由中，是角平分线，，是定值，可知当是的高时，的面积最小，由此即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．