数学八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形第3课时教案

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【回顾旧知】

教师活动：教师提出问题，让同学回答问题，之后进一步提出问题，自然引出新课的学习.

复习旧知——温故知新

【问题】

等腰三角形有哪些性质？让我们回顾一下吧!

预设：

等腰三角形的两腰相等.

等腰三角形的两个底角相等.

追问：对于“等腰三角形的两个底角相等”，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

接下来我们一起探究吧！

回顾、思考并回答问题.

回顾旧知，为学习新知识做铺垫，同时自然引出新知的探究.

环节二 探究新知

【探究】

求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

(提示：像这样的证明题，首先需要写出已知和求证，然后分析思考并写出证明过程.)

已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形.

分析：要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.

证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.

在△ABD与△ACD中，又有∠B=∠C，AD为公共边，

∴△ABD≌△ACD(AAS).

∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.

总结：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

简述为：等角对等边.

【思考】

如图，AB=DC，BD=CA.求证:△AED是等腰三角形.

思路：

△ABD≌△DCA(SSS)       条件：AB=DC

                                AC=BD

AD=AD  

∠DAC=∠ADB

等腰三角形

【做一做】

证明：

∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，

∴△ABD≌△DCA(SSS) 

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等)

∴ AE=DE(等角对等边).

∴△AED 是等腰三角形

【想一想】

小明说:“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.”你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

答案：小明是这样想的:

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与 AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.

【问题】你能理解他的推理过程吗？

根据小明回答的答案，教师进行总结，从而引出反证法.

答案：

① 先假设结论不成立，即AB=AC，则∠B≠∠C；

② 利用已知定理“等边对等角”证明∠B=∠C，得到与题干中的条件相矛盾，说明假设不成立；

③ 假设不成立，从而证明 若 ∠B≠∠C，则AB≠AC.

这种证明方法叫做反证法.

【归纳整理】

定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.

反证法证明的一般步骤是:

(1)假设命题的结论不成立;

(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果;

(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

积极思考并回答问题.

运用所学知识，通过思路引导，对题目进行解答，证明过程的理论要掌握明白.

认真思考教师的问题，对答案进行深刻理解，对推理过程有初步了解.

同学根据教师的归纳整理，认真理解反证法定义以及三个步骤.

在此探究过程中，教师应注意引导，鼓励学生自主按照要求将证明过程书写出来.

衔接上边内容，培养同学能够综合应用全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.

引导学生从反面思考问题的证明方法，了解反证法的含义，并且能够运用反证法证明结论.

归纳整理，方便学生对知识进行系统认识.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师活动:教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.

例1用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

分析：用假设法证明的一般步骤：①假设命题结论不成立；

(一个三角形中能有两个直角)

②从假设出发，并结合已知得出矛盾结果；③由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

证明：假设△ABC中的三个内角有2个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，

则∠A+∠B+∠C＞180°.

这与“三角形内角和为180°”相矛盾，

因此假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

例2   已知直线a∥c,b∥c,求证a∥b.

分析：用反证法进行证明，先假设原命题不成立（两直线相交），然后经过推导得出与已知或者定理相矛盾，从而证明原命题成立.

证明：假设a与b相交，

则过M点有两条直线平行于直线C，

这与过直线外一点平行于已知直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b.

同学根据对反证法及其步骤的理解对题目进行分析，学会运用反证法证明.

根据上面的归纳整理，及时进行例题分析，以便使学生对本节课知识的理解掌握.

环节四 巩固新知

【随堂练习】

教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE//BC，交AB于点E.请△BDE的形状.并说明理由.

思路点拨：根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等得到∠BDE=∠CBD，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等腰三角形的判定解答.

证明：△BDE是等腰三角形

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∵BC//ED,

∴∠BDE=∠CBD

∴∠ABD=∠BDE

∴△BDE是等腰三角形.

2、已知:△ABC，

求证: ∠A、∠B，∠C中最多有一个钝角.

证明：

假设△ABC中∠A和∠B是钝角.

∵∠A和∠B是钝角

∴∠A＞90°，∠B＞90°

∴∠A+∠B＞180°

∵三角形内角和是180°

∴∠A+∠B＋∠C=180°

∵∠C＞0°

∴∠A+∠B＜180°

∵假设与已知条件矛盾

∴假设不成立

同理若假设∠A、∠B、∠C都是钝角，也与已知条件矛盾，假设不成立

∴∠A，∠B，∠C中最多有一个钝角

【延伸】

读一读：

反证法

反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处有两点:

一是否定命题的结论，并且可以将这个否定的结论作为证明的条件;

二是从这个新条件出发，结合命题原有的条件一起推出矛盾，从而使问题获证，与运用其他方法证明一样，运用反证法证明时，推理的过程必须有理有据

反证法在日常生活和数学证明中应用非常广泛.例如，在本册《平行线的有关证明》中曾经用反证法证明了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，在七年级上册读一读“无理数的发现”中曾经用它说明边长为1的正方形的对角线长(即)不是有理数.

【思考】我们再看一个用反证法证明的例子.

3、已知:△ABC.

求证:∠A，∠B，∠C中至多有一个直角.

证明：

假设∠A，∠B，∠C中有两个或三个直角，

不妨设∠A=∠B=90°，

则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°

这与三角形内角和定理矛盾.故∠A=∠B=90°不成立.

所以一个三角形中至多有一个直角.

4、已知直线a、b，

求证:直线a、b相交时只有一个交点P.

证明:

假设a、b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P'

则点P和点P'在直线a上又在直线b上，那么经过P和P'的直线就有两条，

这与“两点决定一条直线”相矛盾，因此假设不成立，

所以两条直线相交只有一个交点.

教师及时发现并对学生不熟悉的知识进行深入讲解，让同学在课上深刻牢记知识点并学会运用.

自主完成练习，然后集体交流评价,并对知识进行总结归纳.

及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.

培养学生不仅能够借助直观得出结论，而且要求能够证明结论，体会证明的必要性.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法.

培养学生总结知识的能力，巩固新知，形成本节课重点内容框架.

环节六

布置作业

教科书第9页习题1.3第1、2题.

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.