2023年中考数学三轮冲刺《解答题》强化练习卷九（含答案）

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有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片.它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张十片中随机地抽取一张.试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率.
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元.已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨，求该市今年居民用水的价格？
如图，在坐标系中，正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=eq \f(k,x)的图象交于A、B两点．
①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点P所有可能的坐标．

如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，
进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）
如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若DC＋DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y=﹣(x﹣m)2＋m＋2的顶点．
(1)当m=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数．
(2)当m=3时，求该抛物线上的好点坐标．
(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的取值范围．
\s 0 参考答案
解：移先得：3x2﹣2x=6，
x2﹣eq \f(2,3)x=2，配方得：x2﹣eq \f(2,3)x＋(eq \f(1,3))2=2＋(eq \f(1,3))2，
(x﹣eq \f(1,3))2=，开方得：x﹣eq \f(1,3)=±，
，；
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中数字之积为负数的有4种结果，
所以两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为eq \f(4,9).
解：设去年每吨水费为x元，则今年每吨水费为(1+)x元，小丽家去年12月的用水量为吨，今年2月的用水量为(+5)吨，依题意有(+5)(1+)x=30，
解得：x=1.5，
经检验得：x=1.5是原方程的根，
答：今年居民用水的价格为1.5元.
解：①把x=﹣1代入y=﹣x得y=1，∴A的坐标是(﹣1，1)，
把A(﹣1，1)代入y=eq \f(k,x)得k=﹣1×1=﹣1；
②∵点A与点B关于原点中心对称，
∴B点坐标为(1，﹣1)，
∴AB=2eq \r(2)，
设P点坐标为(0，t)，
当∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2，
即12+(t﹣1)2+(2eq \r(2))2=12+(t+1)2，解得t=2；
当∠PBA=90°，则PB2+AB2=PA2，
即12+(t+1)2+(2eq \r(2))2=12+(t﹣1)2，解得t=﹣2；
当∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2，
即12+(t﹣1)2+12+(t+1)2=(2eq \r(2))2，解得t=±eq \r(2)
∴点P的所有可能的坐标是(0，eq \r(2))，(0，﹣eq \r(2))，(0，2)，(0，﹣2)．
解：⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略)
此时，DE=EF.

解：(1)连接OC，证∠DAC=∠CAO=∠ACO，
∴PA∥CO，
又∵CD⊥PA，
∴CO⊥CD，
∴CD为⊙O的切线
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴四边形OCDF为矩形.
∵DC＋DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6－x，AF=5－x，
在Rt△AOF中，有AF2＋OF2=OA2，
即(5－x)2＋(6－x)2=25，解得x1=2，x2=9，
由AD＜DF知0＜x＜5，故x=2，
从而AD=2，AF=5－2=3，
由垂径定理得AB=2AF=6.
解：(1)如图1中，当m=0时，二次函数的表达式y=﹣x2＋2，函数图象如图1所示．
∵当x=0时，y=2，当x=1时，y=1，
∴抛物线经过点(0，2)和(1，1)，
观察图象可知：好点有：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，共5个．
(2)如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2＋5．如图2．
∵当x=1时，y=1，当x=2时，y=4，当x=4时，y=4，
∴抛物线经过(1，1)，(2，4)，(4，4)，
共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为(1，1)，(2，4)，(4，4)．
(3)如图3中，∵抛物线的顶点P(m，m＋2)，
∴抛物线的顶点P在直线y=x＋2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E(2，1)，F(2，2)，观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点(点F除外)，
当抛物线经过点E时，﹣(2﹣m)2＋m＋2=1，解得m=或 (舍弃)，
当抛物线经过点F时，﹣(2﹣m)2＋m＋2=2，解得m=1或4(舍弃)，
∴当≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点．