新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第3讲抛物线的定义及其应用(教师版)

第3讲  抛物线的定义及其应用

一、问题综述

本讲梳理抛物线的定义及其应用．抛物线的考题中，对抛物线定义的考查一直都是热点．对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题过程．

（一）抛物线的定义

平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点不在上)．定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

以开口向右的抛物线为例，设抛物线的焦点为F，准线为，点为抛物线上的动点．则有: 焦半径；过焦点的弦长为．

（二）抛物线定义的应用

与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：

（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．

二、典例分析

类型一：利用定义求抛物线的标准方程

【例1】已知动圆过定点，且与直线相切，其中．求动圆圆心的轨迹的方程．

【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为．

【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离．

【变式训练】

1．点与点的距离比它到直线的距离小1, 求点的轨迹方程．

【答案】

【解析】如图，设点的坐标为．

由可知可得：点与点的距离等于它到直线的距离．

根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以，得．

又因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为：．

2．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大1，求动点的轨迹方程．

【答案】或．

3．若动圆与定圆相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．

【答案】．

类型二：利用抛物线定义证明焦点弦或焦半径的相关性质

【例2】为抛物线上任一点，为焦点，则以为直径的圆与轴（    ）

A．相交            B．相切             C．相离            D．位置由确定

【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是．

作于，交轴于，那么，且．

作轴于，则是梯形的中位线，

．

故以为直径的圆与轴相切，选B．

【方法小结】类似的问题：对于椭圆和双曲线来说，结论分别是相离或相交．

【例2】在抛物线上有两点和，且满足，求证：

（1）、和这抛物线的焦点三点共线；（2）为定值．

【证明】（1）∵抛物线的焦点为，准线方程为．

∴、到准线的距离分别，．

由抛物线的定义：，．

∴，即、、三点共线．

（2）如图，设．

∵，∴，

又，∴，

∴（定值）．

【变式训练】求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．

【证明】如图，设抛物线的准线为，过、两点分别作、垂直于，垂足分别为、．取线段中点，作垂直于．

由抛物线的定义有：，，所以．

∵是直角梯形，

即为圆的半径，而准线过半径的外端且与半径垂直，故圆必与准线相切．

类型三：利用抛物线的定义求解最值问题

【例1】设是抛物线上的一个动点．

（1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；

（2）若，求的最小值．

【解析】（1）如下图，抛物线的焦点为，准线是，

由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到焦点的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点，使点到点的距离与点P到的距离之和最小．

显然，连结交曲线于点，则所求最小值为，即为．

（2）如下图，过点作垂直准线于交抛物线于点，则，

则有，

即的最小值为4．

【方法小结】本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解．

【变式训练】已知是抛物线的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值，当在点时，取得最小值，则，两点间的距离是      ．

【解析】依题意，一方面：，

当平行于轴时，取得最大值，此时；

另一方面：，

当，，，三点共线，且在，之间时，取得最小值，此时，

故．

类型四：抛物线定义的综合应用

【例1】如图所示，直线和相交于点，，点，以、为端点的曲线段上任一点到的距离与到点的距离相等，若是锐角三角形，，且，建立适当的坐标系，求曲线的方程．

【解析】（利用抛物线定义求标准方程）

以为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示， 

依题意知：曲线段是以点为焦点，为准线的抛物线的一段，

过作、垂线，垂足分别为、，

由抛物线定义可知，

则，

，，

所以，即，故抛物线方程为．

由，，结合抛物线定义，得，，所以，．

综上，得曲线段的方程为．

【例2】己知椭圆的左右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点，且，则椭圆的离心率为         ．

【解析】

【解法1】如图所示两种情况：

情形1：                 情形2：

故椭圆的离心率为或．

【解法2】设，则，

由，结合抛物线定义得，所以，

由，得，化简得，解得或．

三、巩固练习

1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（   ）

A．椭圆        B．双曲线       C．抛物线       D．以上都不对

2．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（   ）

A．            B．           C．           D．0

3．已知动圆的圆心在抛物线上，又与直线相切，那么必过定点__________．

4．已知动圆P与定圆C：相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________．

5．过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在抛物线准线上的射影分别为、，则（   ）

A．45°           B．60°         C．90°        D．120°

6．已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为          ．

7．过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（   ）

A．         B．         C． 4       D．2

8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，则         ．

9．经过抛物线的焦点的直线与相交于、两点，与的准线交于点．若点位于第一象限，且是的中点，则直线的斜率等于         ．

10．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，为抛物线的准线与轴的交点，若，则       ．

四、巩固练习参考答案

1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（   ）

A．椭圆        B．双曲线       C．抛物线       D．以上都不对

【答案】C．

【解析】由题意得：，

即动点到直线的距离等于它到原点的距离，

由抛物线定义可知：动点的轨迹是以原点为焦点，以直线为准线的抛物线．

故选C．

2．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（   ）

A．            B．           C．           D．0

【答案】B．

【解析】抛物线方程化为，，所以，准线方程为，则，得．故选B．

3．已知动圆的圆心在抛物线上，又与直线相切，那么必过定点__________．

【答案】．

【解析】该圆必过抛物线的焦点．

4．已知动圆P与定圆C：相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________．

【答案】．

5．过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在抛物线准线上的射影分别为、，则（   ）

A．45°           B．60°         C．90°        D．120°

【答案】C．

【解析】如图，由抛物线的定义知：，，

则，，

则由题意知：，，

所以，

即．故选C．

6．已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为          ．

【答案】5

【解析】的最小值即为圆上的点到准线的最小距离．又准线方程为，所以最小值为．

7．过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（   ）

A．         B．         C． 4       D．2

【解析】如图所示，过弦中点作准线的垂线，即作直线的垂线，

过点作准线的垂线，由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：

，则弦的中点到直线的距离等于．故选 B．

8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，则         ．

【答案】1

【解析】由可得焦点坐标为，准线方程为，设过点直线方程为代入抛物线方程，化简得，设，，则有，

根据抛物线定义可知，，，所以，故答案为1．

9．经过抛物线的焦点的直线与相交于、两点，与的准线交于点．若点位于第一象限，且是的中点，则直线的斜率等于         ．

【答案】

【解】设，，

则，即，所以，

于是，

故．

10．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，为抛物线的准线与轴的交点，若，则       ．

【答案】

【解】，

同理，于是，

由．

，．