专题63 极点与极线在解析几何中的应用-2022年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题63  极点与极线在解析几何中的应用

一、极点与极线的定义与性质

极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现．极点与极线定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程．极点与极线作法：如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则直线MN为点P对应的极线．

若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．

由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点

M所对应的极线．MNP称为自极三点形．若连接MN交圆锥曲线于

点A，B，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线．

事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法．

二、题型选讲

例1、（2010江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左，右顶点

为A，B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点

，其中m>0，．设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点

（其坐标与m无关）．

例2、（2021·江苏泰州市·高三期末）如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M.

（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；

（2）求直线FH的斜率k的最小值；

（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.

例3、（2021·江苏徐州市·高三期末）已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.

例4、（2021·湖北高三期末）已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点.

例5、（2016南通二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）

的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足．
（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线OA，OB的斜率

之积为，求实数m的值．

三、达标训练

1、（2021·江苏南通市·高三期末）已知椭圆经过点，椭圆在点处的切线方程为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且与轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P,Q的纵坐标分别为p，q，求的值.

 2、过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于

两点A(a，0)，B(－a，0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.

直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（2）当点P异于点B时，求证：为定值．

3、 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M

（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．

 求证：为定值．