第四章 指数函数与对数函数-高一数学单元专项培优复习（人教A版必修第一册） 试卷练习

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第四章 指数函数与对数函数【章节复习专项训练】【考点1】 ：指数、对数的运算例题1．下列各式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数的运算法则可判断AB；由换底公式可判断C；由对数的加法运算法则可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.【变式1】以下对数式中，与指数式等价的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数式和对数式的关系即可得出.【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.故选：A.【变式2】已知，则a的值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】直接将对数式化为指数式求解即可.【详解】∵，，∴，解得，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的概念，属于基础题.【变式3】若，则（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用指数式与对数式的互化以及指数幂的运算即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.【变式4】计算 (n∈N*)的结果为（    ）A． B．22n＋5C．2n2－2n＋6 D． 2n－7【答案】D【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.【详解】原式，故选：D.【考点2】 ：指数函数、对数函数的概念例题1．下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据对数函数的概念确定正确选项.【详解】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个.故选：B【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题.【变式1】已知正整数指数函数，则（    ）A．2 B．3 C．9 D．16【答案】C【分析】由函数是指数函数可求出，即可求出.【详解】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以.故选：C.【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.【变式2】若函数是指数函数，且，则（    ）A．  B． C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法求解即可.【详解】解：由题意，设且，因为所以，解得.所以 .故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，是基础题.【变式3】已知函数和都是指数函数，则（    ）A．不确定 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据指数函数的概念，得到，，即可求出结果.【详解】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型.【变式4】已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f（1）＝1，则a＝（   ）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合代入法进行求解即可.【详解】∵f（1）＝loga(1＋1)＝1，∴a1＝2，则a＝2，故选：C.【考点3】 ：指数函数、对数函数的图像和性质例题1．如图，若，分别为函数和的图象，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的图象特征，即可直接得到大小关系.【详解】根据，分别为函数和的图象，可得，，且.故选：B【点睛】本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.【变式1】函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由对数函数定义要求其真数大于零构建不等式，求解即可.【详解】在对数函数中，真数，所以.故选：A【点睛】本题考查求对数函数的定义域，属于基础题.【变式2】函数的图象一定经过点（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象，因为的图象恒过点，所以的图象经过点(2,1).故选：C【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题.【变式3】已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的性质求解即可【详解】当时，，解得，故选：B.【变式4】函数y=2|x|的图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.【详解】y=2|x|=，故当时，函数图象同单调递增；当时，函数图象同单调递减，且时，.满足以上条件的只有.故选：B.【点睛】本题考查指数型函数的图象，属简单题.【考点4】 ：函数的零点与方程的解整式的乘法例题1．设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一:（图象法）根据题意可知分别为与和与交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有.代入,再根据区间上单调递增,所以.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知、是方程和的根,又,所以函数在上单调递增,所以.代入在区间上单调递增,所以.【详解】解:解法一:（图象法）根据函数零点的定义可知函数与的图象交点为,同理可得函数与的图象交点为.又因为函数与的图象关于直线对称,函数的图象也关于直线对称,所以点与点关于直线对称,所以.由可知,所以在区间上单调递增,所以.故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知是方程的根,所以也是函数的零点.同理可得是方程的根,即,所以,所以也是函数的零点.又,所以函数在上单调递增,所以.由可知,所以在区间上单调递增,所以.故选:D【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.【变式1】函数的零点所在区间为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.【详解】；；；；；所以.故选：A.【变式2】已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.故选：B.【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.【变式3】函数的零点是（    ）A． B．和 C．和 D．以上都不是【答案】C【分析】当时对应的的值即为所求的零点.【详解】令，即，解得：或，的零点是和.故选：.【点睛】本题考查函数零点的求解问题，易错点是误认为零点为一个点的坐标，实际零点是函数值为零时，对应的自变量的值.【变式4】已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（    ）A． B．x＝1 C．x＝e D．x＝1或x＝e【答案】C【分析】通过解方程求得的解.【详解】依题意，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.【考点5】 ：用二分法求方程的近似解例题1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f（1）<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（    ）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，2) D．不能确定【答案】B【分析】根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.【详解】∵f(1.25)·f(1.5)<0，且f(x)是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．故选：B.【变式1】下列函数不宜用二分法求零点的是（    ）A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1【答案】C【分析】根据二分法的概念可知，只有存在区间，使得，才能应用二分法求零点，即可判断出各选项对应的函数是否可用二分法求零点．【详解】对于A，存在区间，使得，所以 A宜用；对于B ，存在区间，使得，所以B宜用；对于C，，不存在区间，使得，所以C不宜用；对于D，存在区间，使得，所以D宜用．故选：C．【点睛】本题主要考查二分法的概念的理解以及应用，属于容易题．【变式2】函数在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求，再求，发现异号，再求的值，再利用零点存在性定理判断即可【详解】解：因为，，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选：C.【点睛】此题考查二分法判断零点，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.【变式3】用二分法求函数在内的唯一零点时，精确度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二分法的步骤分析可得.经过一次二分后,零点所在区间长度为,结束计算的条件是零点所在区间的长度满足精确度,由此可得.【详解】据二分法的步骤知,经过一次二分后, 零点所在区间长度为,此时结束计算,所以,所以.故选B【点睛】本题考查了二分法的步骤,属于基础题.【变式4】下面关于二分法的叙述，正确的是（    ）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【答案】B【分析】根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B.【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B.【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题.