第2章 二元一次方程辅导讲义10：实际问题与二元一次方程组（二）(提高)知识讲解
展开实际问题与二元一次方程组（二）（提高）知识讲解
【学习目标】
1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
- 行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、行程问题
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例7】
1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.
【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离，
75×（规定时间－）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．
【答案与解析】
解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：
解得：
答：甲乙两地间的距离为140千米.
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．
举一反三：
【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．
【答案】
解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得：
解得:
答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m．
类型二、存贷款问题
2. 张叔叔10万元买一辆货车跑运输，年利率为5.49%，计划两年还清贷款和利息．他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元，其中开支有两项：油费是运费收入的10%，修理费、养路费和交税是运费收入的20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息？
【答案与解析】
解：设 10万元贷款两年后的本息和为万元，而张叔叔跑2年的总利润为万元，则：
解得
∵ ， ∴能还清．
答：张叔叔跑2年的利润能还清贷款和利息．
【总结升华】本题也可以不用方程组，直接列出代数式求值，比较大小得答案．
举一反三：
【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ）．
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】B
类型三、数字问题
3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？
【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．两个等量关系为：10×一个加数+另一个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341．
【答案与解析】
解：设原来的两个数分别为和，则：
，
解得．
答：原来两个加数分别是21，32．
【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．
举一反三：
【变式】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的，用方程表示这一个数量关系是 ．
【答案】或（填一个即可）
类型四、方案选择问题
4. (嘉兴)一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)
(1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
(2)求本次奖金发放的具体方案．
【思路点拨】 (1)有两个等量关系：
①技术员工的人数+辅助员工的人数＝15人；
②技术员工人数＝辅助员工人数×2．由此，可以设未知数列出方程组求解．
(2)有一个等量关系：两种标准发放的奖金和为20000元，结合A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，从而分类求解．
【答案与解析】
解：(1)设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人．
根据题意，得，解得．
即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人．
(2)由(1)，可得10A+5B＝20000．
因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，
所以当B＝800时，A＝1600；
当B＝900时，A＝1550(A不是100的整数倍，舍去)；
当B＝1000时，A＝1500；
当B＝1100时，A＝1450(A不是100的整数倍，舍去)；
当B＝1200时，A＝1400；
当B＝1300时，A＝1350(A不足100的整数倍，舍去)；
当B＝1400时，A＝1300(A＜B，舍去)；
因此再取下去都不符合题意．
所以本次奖金发放的具体方案有三种：
方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元；
方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元；
方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元．
【总结升华】本题的第(1)问容易求解．难在由第(2)问得到的等量关系式中含有两个未知数，好在这两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144 例5】
举一反三：
【变式】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.
【答案】
解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑：
①只购进A型电脑和B型电脑，
不符合题意，舍去，此方案不可取.
②只购进A型电脑和C型电脑，
符合题意，此方案可取.
③只购进B型电脑和C型电脑，
符合题意，此方案可取.
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
