第2章 二元一次方程辅导讲义1：二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解

二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解

【学习目标】

1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；

2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.

【要点梳理】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解

    一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．

要点诠释：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.   

要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

要点诠释：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．

【典型例题】

类型一、二元一次方程

1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3；  (4)x+y＝6；  (5)2x-4y＝7；

(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．

【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．

【答案】(1)(4)(5)(8)(10)

【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2．

【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．

【高清课堂：二元一次方程组的概念 409142 例1（1）】

举一反三：

【变式】下列方程中，属于二元一次方程的有（    ）

A.    B.   C.  D.

【答案】B

类型二、二元一次方程的解

2.二元一次方程x-2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

解：当x＝0，y＝时，x-2y＝1，故A是原方程的解．

    当x＝1，y＝1时，x-2y＝-1，故B不是原方程的解．

    当x＝1，y＝0时，x-2y＝1，故C是原方程的解．

    当x＝-1，y＝-1时，x-2y＝1，故D是原方程的解．

【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解，只需要将这组数值代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解，否则，不是．

【高清课堂：二元一次方程组的概念409142 例2（2）】

举一反三：

【变式】若方程的一个解是，则a=         .

【答案】3

3.已知二元一次方程．

(1)用含有x的代数式表示y；(2)用含有y的代数式表示x；

(3)用适当的数填空，使是方程的解．

【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．

【答案与解析】

解：(1)将方程变形为3y＝2，化y的系数为1，得．

(2)将方程变形为，化x的系数为1，得．

(3)把x＝-2代入得， y＝1．

【总结升华】用含x的代数式表示y，其实质表示为“y＝含x的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．

举一反三：

【变式】已知：2x+3y=7，用关于y的代数式表示x，用关于x的代数式表示y．

【答案】

解：（1）2x=7－3y， ；（2）3y=7－2x，

类型三、二元一次方程组及方程组的解

4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

 A.           B.

C.          D.

【答案】D

【解析】A，B中未知数的次数高于或低于一次，而C中出现三个未知数，只有D选项满足题意，故正确答案为D.

【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”．

5.判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．

（1）    （2）

【答案与解析】

解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．

把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．

所以不是方程组的解．

（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，

再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．

【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

举一反三：

【变式】写出解为的二元一次方程组．

【答案】

解：此题答案不唯一，可先任构造两个以为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：

∵  x＝1，y＝-2，

∴  x+y＝1-2＝-1．

2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．

∴  就是所求的一个二元一次方程组．

 注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．