2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模（含答案）

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2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．−
2．（3分）神舟十五号载人飞船，搭载3名航天员于2022年11月29日成功发射，它的飞行速度大约是474000米/分，这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．4.74×105 B．4.74×106 C．47.4×104 D．0.474×106
3．（3分）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a4）3＝a7 B．（﹣a2）3＝a6
C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5•a5＝﹣a10
5．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝﹣6+4 B．（x﹣2）2＝6+2
C．（x﹣2）2＝﹣6+2 D．（x﹣2）2＝6+4
7．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
8
7
9
14
12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（　　）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
8．（3分）如图所示，小红要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是（　　）

A．60πcm2 B．96πcm2 C．120πcm2 D．48πcm2
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
10．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（　　）

A．80° B．100° C．140° D．160°
11．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）

A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
14．（3分）分解因式：x2﹣12x+36＝　 　．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是 　 　．
16．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长是3cm，则它的侧面展开图的面积为　 　cm2．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 　 　．

18．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到AE，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．

21．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 　 　名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 　 　；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD∥CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：BD•BF＝AD•CF；
（3）若，OC＝5，求tan∠ABE的值．

23．（8分）甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．
（1）求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）直接写出不等式的解集：　 　．
（2）求反比例函数和一次函数的表达式；
（3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

25．（10分）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标．

26．（12分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）【应用】如图②，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE＝　 　．
（3）【拓展】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？


2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：2023的相反数是﹣2023．
故选：C．
2． 解：474000＝4.74×105．
故选：A．
3． 解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
4． 解：A、（a4）3＝a12，故A错误，不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误，不符合题意；
C、（2ab）3＝8a3b3，故C错误，不符合题意；
D、﹣a5⋅a5＝﹣a10，故D正确，符合题意．
故选：D．
5． 解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
6． 解：x2﹣4x﹣6＝0，
移项，得x2﹣4x＝6，
配方，得x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝6+4，
故选：D．
7． 解：由统计表可知众数为4.9；
共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．
故选：B．
8． 解：圆锥形小漏斗的侧面积＝×12π×8＝48πcm2．
故选：D．
9． 解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
10． 解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC＝∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
11． 解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．

∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
12． 解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误；
B、∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．
故D选项正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13． 解：根据题意得，2﹣x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
14． 解：x2﹣12x+36＝（x﹣6）2．
故答案为：（x﹣6）2．
15． 解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
即m的取值范围是m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
16． 解：圆锥的侧面积＝•2π•2•3＝6π（cm2）．
故答案为6π．
17． 解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．

18． 解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20，
∴AN＝＝＝4，
解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，设正方形边长为x，
＝，即＝，
∴x＝20．
在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19． 解：原式＝
＝
＝﹣，
当x＝1﹣时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
20． （1）证明：∵以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到AE，
∴AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BD交AB于H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∵DH⊥BC，
∴∠ABC＝∠BHD＝45°，
∴BD＝DH，
∴BH＝BD，
∵∠BHD＝∠BAD+∠ADH，∠BAD＝22.5°，
∴∠BAD＝∠ADH＝22.5°，
∴AH＝HD，
∴AB＝BD+BD＝1，
∴BD＝﹣1．

21． 解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：

故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
22． （1）证明：连接DO，

∵BC与⊙O相切，
∴∠OBC＝90°，
∵DO＝AO，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵AD∥CO，
∴∠DAB＝∠COB，∠DOC＝∠ADO，
∴∠DOC＝∠COB，
∵DO＝BO，CO＝CO，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD∥CO，
∴∠ADB＝∠OFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠OFB＝90°，
∴∠ADB＝∠CFB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠OBC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝，
∴BF•BD＝AD•CF；
（3）解：∵OA＝OB，BF＝DF，
OF是△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝，
∵OC＝5，
∴CF＝OC﹣OF＝5﹣＝，
∵2BF2＝AD•CF；
∴2BF2＝×，
∴BF＝，
在Rt△OBF中，OB＝＝＝3，
∴OE＝OB＝3，
∴EF＝OE+OF＝3+＝，
在Rt△BFE中，tan∠FEB＝＝＝，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴tan∠ABE＝tan∠FEB＝，
∴tan∠ABE的值为．
23． 解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，
根据题意可知：＝﹣25，
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；
（2）设每千克的售价为y元，
第一次销售了＝150千克，第二次销售了125千克，
根据题意可知：150（y﹣4）+125（y﹣4.8）≥1000，
解得：y≥8，
答：每千克的售价至少为8元．
24． 解：（1）由图象可知，不等式的解集为x≤﹣4或0＜x≤2；
故答案为：x≤﹣4或0＜x≤2；
（2）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（3）设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．

25． 解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x﹣2；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设P（t，﹣t2+t﹣2），则M（t，0），1＜t＜4，
∴PM＝﹣t2+t﹣2，
∵A（4，0），
∴AM＝4﹣t，
∴tan∠MAP＝，
∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，OA＝4，
∴tan∠OAC＝，
①当∠PAM＝∠OAC时，＝，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P（2，1）；
②当∠PAM＝∠OCA时，＝2，
解得t＝4（舍）或t＝5（舍），
∴此时P不存在；
综上所述：P点坐标为（2，1）；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，
过点B作直线AC的平行线y＝x+m，
∴+m＝0，
∴m＝﹣，
∴y＝x﹣，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴D（3，1）．

26． （1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，则CD＝CE，

∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CD＝AB；
（2）解：如图2中，设CE交AB于点O．

∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴CO＝CB•cos30°＝，
∵DA＝DE，DA＝DC，
∴DC＝DE，
∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝，
∴CE＝3
故答案为：3；
（3）过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，

∵DG⊥AC，AC⊥BC，
∴DG∥BC．
∵D是边AB中点，
∴DG＝BC，
同理：DH＝AC，
∵AC＝BC，
∴DG＝DH．
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH＝90°．
∴∠GDF+∠FDH＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠GDF+∠EDG＝90°．
∴∠EDG＝∠FDH．
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（SAS）．
∴DE＝DF．
∴△EDF为等腰直角三角形，
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为AB，
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝AC＝4
∴EF的中点M所经过的路径长为2．