湖南省衡阳市南岳二中2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试卷

这是一份湖南省衡阳市南岳二中2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题）
1．如果x−1有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x≤1D．x＜1
2．将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3
C．y＝x2+2x+3D．y＝x2﹣2x﹣3
3．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形
C．菱形D．对角线相等的四边形
4．如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．0或﹣3
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连接AC．点P在线段AC上，且AP＝PC，函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（ ）
A．0＜k≤6B．3≤k≤6C．3≤k≤12D．6≤k≤12
6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则AB的长度为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
7．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（ ）
A．16B．13C．23D．56
9．方程2x2﹣ax+7＝0，有一根是12，则另一根为（ ）
A．7B．7.5C．﹣7D．15
10．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么csB的值是
A．35B．45C．34D．43
二、填空题（共6小题）
11．若点P（a，2）与点Q（5，b）关于原点对称，则a＝ ，b＝ ．
12．一个圆形转盘的半径为2cm，现将这个转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转动转盘10000次，指针指向红色区域为250次，请问指针指向红色区域的概率的估计值是 ．
13．关于x的方程x2﹣（n+2）x+14n2﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝ ．
14．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则弧田弧所在的圆的半径为 ．
15．如图，小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为 ．
16．若a1＝1+112+122，a2＝1+122+132，a3＝1+132+142，…，an＝1+1n2+1(n+1)2，其中n为正整数，则a1+a2+a3+⋯+a2022的值是 ．
三、解答题（共7小题）
17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA=43．求：
（1）∠POA的度数；
（2）弦AB的长；
（3）阴影部分的面积．
18．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．
求证：CD=BD．
19．如图，已知抛物线y1＝ax2+c和直线y2＝2x+2都经过x轴、y轴上的点A和B
（1）求抛物线的解析式；
（2）x取何值y1＞y2；
（3）当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2若y1≠y2，取y1、y2中的最小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．若M＝1，求对应的x的值．
20．现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大13，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.
22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
23．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径AO上一动点（不与O，A重合），过点F作射线l⊥AB，分别交弦AC，AC于H，D两点，在射线l上取点E，过点E作⊙O的切线EC．
（1）求证：EC＝EH．
（2）当点D是AC的中点时，若∠ABC＝60°，判断以O，A，D，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x−1有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1.
故答案为：B。
【分析】根据二次根式有意义的条件，直接列出不等式，解不等式即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线y＝x2向上平移2个单位， 得到：y＝x2+2，
再向左平移1个单位，得到：y=(x+1）2+2，即：y=x2+2x+3.
故答案为：C。
【分析】根据二次函数的几何变换可直接得出答案。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A： 等边三角形 是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B： 平行四边形 是中心对称图形，不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C： 菱形 即使轴对称图形，又是中心对称图形，所以C符合题意；
D： 对角线相等的四边形 不一定是对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别进行判断，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故答案为：B.
【分析】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中求出m的值为﹣3或3，由一元二次方程的定义可知 m﹣3 ≠0，进而可得m=-3.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（4，3），
∴OB=4，AB=3，
设点C的坐标为（c，0）（0≤c≤4），过点P作PD⊥x轴于点D，
∴BC=4-c，OC=c，且PD∥AB，
∴△PCD∽△ACB，
∴PCAC=PDAB=CDBC，
∵AP＝PC，
∴PCAC=PDAB=CDBC=12，
∴PD=32，CD=2-c2，
∴OD=OC+CD=c+2-c2=2+c2，
∴点P的坐标为：（2+c2，32），
∴k=（2+c2）×32=3+3c4，
∵0≤c≤4，
∴3≤k≤6.
故答案为：B。
【分析】设点C的坐标为（c，0）（0≤c≤4），过点P作PD⊥x轴于点D，根据△PCD∽△ACB，可得出PCAC=PDAB=CDBC=12，从而得出PD=32，CD=2-c2，进一步求得点P的坐标，然后根据点P在反比例函数的图象上，从而得出k=（2+c2）×32=3+3c4，根据c的取值范围，即可计算得出k的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=2，
又∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB的长度为 ：90π×2180=π。
故答案为：C。
【分析】如图，连接OA，OB，OC，首先根据圆周角定理求得∠BOC=60°，从而得出△OBC是等边三角形，可求得圆的半径OB=BC=2，再根据圆周角定理，得出∠AOB=90°，然后根据弧长计算公式，即可得出AB的长度。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质知：OA=OA'，
又∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=60°，
∴△OAA'是等边三角形，
∴∠AOA'=60°，即旋转角α =60°。
故答案为：C。
【分析】由旋转性质知OA=OA'，从而得出△OAA'是等边三角形，即可得出旋转角为60°。
8．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图分析：
由树状图可知，所有机会均等的结果有9种，其中两人恰好在不同的阅览室的情况有6种，
∴两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为 ：69=23.
故答案为：C.
【分析】根据树状图分析，再根据概率计算公式即可求得所关注事件的概率。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则利用根与系数的关系可得：12×x2=72，
∴x2=7.
故答案为：A。
【分析】直接利用根与系数的关系。即可求得另一根。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=12BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴csB=BDAB=34．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=12
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到csB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
11．【答案】﹣5；﹣2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，2）与点Q（5，b）关于原点对称，
∴a=-5，b=-2.
故第1空答案为：-5；第2空答案为：-2.
【分析】直接根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a，b的值即可。
12．【答案】2.5%
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 概率的估计值是 ：25010000=2.5%。
故答案为：2.5%。
【分析】直接根据概率计算公式计算即可。
13．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（n+2）x+14n2﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴∆=（n+2）2-4×1×（14n2−1）=0，
解得：n=-2.
【分析】根据一元二次方程的根的情况，可以得出根的判别式=0，即可列出关于n的方程，解方程即可求得n的值。
14．【答案】5
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，得：72=12(6×矢+矢2），解得：矢=1或矢=-7（舍去）
设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，
∴d=r-1，
又r2=32+d2， ∴r2=32+（r-1）2，解得：r=5.
故答案为：5.
【分析】首先根据已知条件，求得矢=1，设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，r2=32+d2，解方程组，即可得出r=5.
15．【答案】1325
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图分析，如图所示：
所有机会均等的结果有25个，其中和为偶数的结果有13个，
∴P（小李获胜）=1325。
故答案为：1325。
【分析】首先画出树状图进行分析，然后根据概率计算公式，求得概率即可。
16．【答案】20232−12023
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：∵an＝1+1n2+1(n+1)2，n为正整数，
∴an=1+1n2+1(n+1)2
=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1n2(n+1)2
=(n2+n+1)2n(n+1)
=n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)，
∴a1+a2+a3+⋯+a2022
＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12022×2023）
＝2022+1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023
＝2022+1−12023
=20232−12023．
故答案为：20232−12023．
【分析】首先求得an=1+1n(n+1)，然后计算a1+a2+a3+⋯+a2022=（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12022×2023），然后根据简便运算，即可得出结果。
17．【答案】（1）解：∵PA是圆O的切线，切点是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA=PAOA=3，
∴∠POA＝60°
（2）解：设AB与PO相交于点D，如图，
∵点B与点A关于直线PO对称，
∴AB⊥PO，且AB＝2AD，
在Rt△ADO中，AD＝OAsin60°＝23，
∴AB＝2AD＝43；
（3）解：设阴影部分面积为s，
则S＝S△OAP﹣S扇形AOC，
∵S△OAP＝83，S扇形AOC=8π3，
∴S＝8（3−π3）．
【知识点】扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1） 在Rt△APO中， 根据锐角三角函数的定义，即可得出∠POA的度数；
（2） 在Rt△ADO中，AD＝OAsin60°＝23， 进一步得出AB=2AD=43；
（3） 设阴影部分面积为s， 根据 S＝S△OAP﹣S扇形AOC， 即可得出阴影部分的面积。
18．【答案】证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C，
∵AC∥OD，
∴∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A，
∴∠COD＝∠BOD，
∴CD=BD．
【知识点】平行线的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 连接OC， 可得出 ∠A＝∠C， 然后根据平行线的性质分别得出 ∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A， 即可得到 ∠COD＝∠BOD， 进而得出 CD=BD．
19．【答案】（1）解：令y＝0，则2x+2＝0，
解得x＝﹣1，
所以，A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝2，
所以，B（0，2），
将点A、B的坐标代入抛物线得，a+c=0c=2，
解得a=−2c=2，
所以，y1＝﹣2x2+2；
（2）解：由图可知，﹣1＜x＜0时，y1＞y2；
（3）解：若﹣2x2+2＝1，则x＝±22，
若2x+2＝1，则x=−12，
∵﹣2＜x＜0时，y1＞y2，
∴x=−22不符合题意，
∴M＝1，对应的x的值为22或−12．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）首先根据 直线y2＝2x+2 求得点A和点B的坐标，再根据点A和点B的坐标，利用待定系数法求得 抛物线的解析式；
（2）观察函数图象，可由点A和点B的横坐标，直接得出x的取值范围；
（3）可分别求得 ﹣2x2+2＝1 或 2x+2＝1时x的值，再舍去不合题意的值即可。
20．【答案】解：设原矩形猪舍共用am长的铁网，则其长，宽分别为38am，18am，
原面积S原舍=38a•18a=364a2，需增加的面积为364a2×13=164a2，
①设方案一中新增正方形猪舍边长为xm，则x2=164a2（x＞0），
解得：x=18a，
∴4x=12a，
则采用方案一时，需再买铁网长度为原来猪舍所用铁网总长的12；
②若采用方案二，设改建后的猪舍为一个正方形，面积为364a2×（1+13）=116a2，
设边长为y，则y2=116a2（y＞0），
解得：y=14a，
∴4y＝a，
则采用方案二，需再买铁网长度与原来猪舍所用铁网总长相等，不需购买；
综上，采用方案二好，可以不需要购买铁网．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】分别求得两种方案所需购买钢网的长度，进行选择即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴DEAE=BEDE ，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm，
即 DE28=18DE
∴DE＝6 14 cm.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由平行四边形的性质可得∠A＝∠C， 即得∠EDB＝∠C=∠A ，又∠E＝∠E，根据两角分别相等的两个三角形相似即证；
（2） 由平行四边形的性质可得DC＝AB，由△ADE∽△DBE可得DEAE=BEDE，据此可求出DE.
22．【答案】解：设衬衫的单价降了x元．
根据题意，得（20+x2×4）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设衬衫的单价降了x元，根据每天盈利1250元，可得方程（20+x2×4）（40﹣x）＝1250， 解方程即可。
23．【答案】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECH+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ECH＝∠OCB，
∵EF⊥AB，
∴∠AFH＝90°，
∴∠A+∠AHF＝90°，
∴∠AHF＝∠CHE＝∠B，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH；
（2）解：四边形AOCD是菱形，
理由：连接AD，CD，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴CD∥AO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝30°，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形AOCD是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）首先证得 ∠ECH+∠ACO＝∠OCB+∠ACO =90°，即可得出∠ECH=∠OCB，再证明∠OCB=∠B=∠EHC，进而得出∠ECH＝∠EHC， 进一步即可得出 EC＝EH；
（2）四边形AOCD是菱形 ，首先可证四边形AOCD是平行四边形，再根据AD=DC即可得出四边形AOCD是菱形。