高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.4 诱导公式学案

诱导公式

第一学时

【学习过程】

一、初试身手

1．sin（－30°）的值是（    ）。

A． B．－

C． D．－

2．cos的值为（    ）。

A． B．－

C． D．

3．cos－sin＝________。

二、合作探究

类型一：利用诱导公式求值

【例1】

计算：

（1）sintan π－cosπ·tan；

（2）sin＋cosπ·tan 4π；

（3）cosπ＋tan；

（4）cossin＋sincos。

[思路探究]先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果。

类型二：利用诱导公式化简

【例2】化简：。

[思路探究]应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负。

类型三：利用诱导公式证明恒等式

[探究问题]利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？

【提示】利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；（3）凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同。

【例3】已知tan（2π－α）＝－2，求证：4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1．

[思路探究]可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可。

三、学习小结

1．诱导公式①

2．诱导公式②

四、精炼反馈

1．sin 690°的值为（    ）。

A． B．

C．－ D．－

2．点P（cos 2 019°，sin 2 019°）落在（    ）。

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

的化简结果为________。

求下列各式的值：

（1）cosπ＋tan；

（2）sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°。

第二学时

【学习过程】

一、初试身手

1．sin 585°的值为（    ）。

A．－ B．

C．－   D．

2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝（    ）。

A．a B．－a

C． D．－

3．若cos>0，且sin<0，则θ是（    ）。

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

二、合作探究

类型一：给角求值问题

【例1】（1）求下列各三角函数值。

①sin；②cos π；

（2）求sin ·cos （n ∈ Z）的值。

[思路探究]（1）直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择。

（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论。

类型二：给值（式）求值问题

【例2】已知cos（π＋α）＝－，求cos的值。

[思路探究]→→

类型三：诱导公式中的分类讨论思想

[探究问题]（1）利用诱导公式能否直接写出sin（kπ＋α）的值？

【提示】不能。因为k是奇数还是偶数不确定。

当k是奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin（π＋α）＝－sin α；

当k是偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），sin（kπ＋α）＝sin α。

（2）如何化简tan呢？

【提示】当k为奇数时，即k＝2n＋1（n ∈ Z），

tan＝tan＝＝＝；

当k为偶数时，即k＝2n（n ∈ Z），

tan＝tan α。

综上，tan＝

【例3】设k为整数，化简：。

[思路探究]分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解。

三、学习小结

1．诱导公式③

sin（π－α）=sin α

cos（π－α）=－cos α

tan（π－α）=－tan α

2．诱导公式④

sin（π +α）=－sin α

cos（π +α）=－cos α

tan（π +α）=tan α

3．诱导公式⑤

sin（π/2－α）=cos α

cos（π/2－α）=sin α

4．诱导公式⑥

sin（π/2+α）=cos α

cos（π/2+α）=－sin α

5．诱导公式⑦

cos（3π/2+α）=sin α

sin（3π/2+α）=－cos α

6．诱导公式⑧

cos（3π/2－α）=－sin α

sin（3π/2－α）=－cos α

四、精炼反馈

1．下列各式不正确的是（    ）。

A．sin（α＋180°）＝－sinα

B．cos（－α＋β）＝－cos（α－β）

C．sin（－α－360°）＝－sinα

D．cos（－α－β）＝cos（α＋β）

2．sin 600°的值为（    ）。

A． B．－

C． D．－

3．cos 1 030°＝（    ）。

A．cos 50° B．－cos 50°

C．sin 50° D．－sin 50°

4．已知sin φ＝，求cos＋sin（3π－φ）的值。

答案解析

第一学时

二、合作探究

例1．【答案】（1）原式＝·tan－cos ·tan

＝－sin·tan －cos ·tan

＝－××－×（－1）＝0

（2）原式＝－sinπ＋cosπ·tan 0

＝－sin＋0＝－sin＝－。

（3）原式＝cos－tanπ

＝cos－tan

＝－tan＝－1＝－。

（4）原式＝cossin＋sin·cos＝cossin ＋sin cos

＝cos ·sin ＋sin cos

＝×＋×

＝＋。

例2．【答案】原式＝

＝＝

＝＝－1

例3．【解】左边＝4sin2（－α）－3sin αcos α－5cos2α＝

＝＝

因为tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tan α＝－2，

所以tan α＝2，

所以左边＝＝＝1，

所以4sin2（4π－α）－3sin α·cos（－α）－5cos2α＝1

四、精炼反馈

1．【答案】C

【解析】sin 690°＝sin（720°－30°）＝－sin 30°＝－

2．【答案】C

【解析】2019°＝6×360°－141°，

∴cos2019°＝cos（－141°）＝cos141°<0，

sin2019°＝sin（－141°）＝－sin141°<0，

∴点P在第三象限。

3．【答案】1

【解析】原式＝＝1．

4．【解】（1）cosπ＋tan

＝cos＋tan＝cos＋tan

＝＋1＝。

（2）原式＝sin（2×360°＋90°）＋tan（3×360°＋45°）＋cos（360°＋60°）＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝。

第二学时

二、合作探究

例1．【答案】（1）①sin

＝－sin ＝－sin＝－sin

＝－sin＝sin ＝。

②cos π＝cos＝cos

＝cos＝－cos ＝－。

（2）①当n为奇数时，

原式＝sin ·＝sin·

＝sin ·cos ＝×＝；

②当n为偶数时，原式＝sin π·cos π

＝sin··cos

＝sin ·

＝×＝－。

＝sin

＝cos＝。

例2．【解】∵cos（π＋α）＝－cos α＝－，

∴cos α＝，

∴α为第一或第四象限角。

①若α为第一象限角，

则cos＝－sin α＝－

＝－＝－。

②若α为第四象限角，

则cos＝－sin α＝

＝＝。

例3．【解】当k为偶数时，

＝＝－1．

当k为奇数时

＝＝－1．

综上可得＝－1．

四、精炼反馈

1．【答案】B

【解析】cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），故B项错误。

2．【答案】D

【解析】sin 600°＝sin（720°－120°）＝－sin 120°

＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－，故选D．

3．【答案】A

【解析】cos 1 030°＝cos（3×360°－50°）

＝cos（－50°）＝cos 50°。

4．【解】∵sin φ＝，

∴cos＝cos

＝cos＝cos＝sin φ＝，

∴cos＋sin（3π－φ）＝＋sin（π－φ）

＝＋sin φ＝。