高一数学人教A版（2019）必修第二册 专题 平面向量的线性运算基础 学案

这是一份高中人教A版 (2019)全册综合导学案及答案，共11页。

《平面向量》专题 线性运算基础
（10套，6页，含答案）
知识点：
向量运算： 1.＋＝ 2. －＝

向量坐标运算：

1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则_____________叫作向量a的坐标，____________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝_____，
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____.

答案：(1)互相垂直　(2)单位向量　xi＋yj　有序数对(x，y)　a＝(x，y)　(3)(x，y)　(x2－x1，y2－y1)；


2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__________．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝__________．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________．

答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(2)(x1－x2，y1－y2)　(3)(λx，λy)；
答案：（ 答案：(1)互相垂直　(2)单位向量　xi＋yj　有序数对(x，y)　a＝(x，y)　(3)(x，y)　(x2－x1，y2－y1)；
答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(2)(x1－x2，y1－y2)　(3)(λx，λy)；
）
典型例题1：
1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于 (　 答案：C；
　[＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]
　)
2. A. B. C. D.
3.
4. 已知＝（3，1）， ＝（－2，5）则32＝ ( 答案：
)

5. 已知，则　　　 答案：
　　　　
6. 已知＝(1,0)，＝(1,1)，＝(－1,2)，求λ和μ，使＝λ+μ（ 答案：，μ＝2，
）

随堂练习1：
1. 化简－＋＋的结果等于 (　 答案：B；
　)
2. A. B. C. D.

3. 设＝（2，9）， ＝（λ,6），＝(－1,μ),若+＝,则λ＝ , μ＝ 答案：

4. 已知向量＝，＝，则等于 答案：；
.

5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则＝　　 答案：（2，－2）
　　
6.
7. 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．
8. (1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)． [解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
(1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得即　所以p＝a－b.
(2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得
即所以q＝－a－b. ,




《平面向量》专题3－2 线性运算基础

1. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于____ 答案：2；
解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.

____．

2. 已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有_____ [答案]　①；
[解析]　－＋＝＋＝；
＋＝＋＝≠；
－＝≠；
＋＝≠.
___．
3. ①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.

F
E
P
G
O
Q
H
4. 已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　 答案：C；
　)
5. A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1)


6. 如图所示的方格纸中有定点，则 （ 答案：C；
）
7. A． B． C． D．
8.

9. 已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为(　 [答案]　D；
[解析]　利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.

　)
10. A．－2,3 B．－2，－3 C．2，－3 D．2,3







《平面向量》专题3－3 线性运算基础
1. 化简(－)－(－)的结果是___ 答案：0；
解析　方法一　(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二　(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.

_____．

2. 若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　 答案：B；
　)
3. A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－

4. 已知向量，则（ 答案：A；
）
5. (A) 8 (B)5 (C) 4 (D)

6. 已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　 答案：D；
　)
7. A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)


8. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　 答案：D；
　[由解得]
　)
9. A．－2,1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1,2


《平面向量》专题3－4 线性运算基础
1. 如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　 [答案]　B；
[解析]　连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.

　)
2. A．0 B. C. D.
3. 如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，
4. 则（ 11.D 设方格边长为单位长.在直角坐标系内，，由得，
所以，解得，所以，，选.

） （A） （B） （C） （D）
5.
6. 已知点，，向量，＝（3，－2）, 则 向量＝__ 答案：(1,－2)；
____

7. 已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为(　 答案：C；
　[设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－.]

　)
8. A．(－8,1) B. C. D．(8，－1)



《平面向量》专题3－5 线性运算基础
1. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝__ 答案：；
___.
2.

3. 已知向量＝（1，2），2+＝（3，2），则＝（　 答案：B；
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．
【解答】解： ＝（1，2），2+＝（3，2），
则＝（2+）﹣2＝（3，2）﹣2（1，2）＝（3，2）﹣（2，4）＝（3﹣2，2﹣4）＝（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．

　）
4. A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）

5. 已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　 答案：D；
　[设D(x，y)，由＝，
∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.]

　)
6. A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6)

7. 已知＝(1,0)，＝(1,1)，＝(－1,0)，求λ和μ，使＝λ+μ（ 答案：，μ＝0，
）



《平面向量》专题3－6 线性运算基础

1. 如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则正确的等式是（ 答案：3，4
）
2. ① ② ③ ④
3.
4. 已知向量，，则（ 答案：B；
）
5. A． B． C． D．

6. 已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝_____ 答案：；

解析　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴　解得　
∴x＋y＝.

___.

7. 已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是(　 [答案]　B；
[解析]　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．

　)
8. A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2)



《平面向量》专题3－7 线性运算基础
1. 化简以下各式：
2. ①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④＋＋－.
3. 结果为零向量的个数是(　 [答案]　D；
[解析]　①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0.
　) A．1 B．2 C．3 D．4

4. 已知点，向量，则向量 （ 答案：A ；
）
5. （A） （B） （C） （D）
6. 若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2＝ 答案：
.

7. 若向量a＝（1，1），b＝（1，－1），c＝（－1，2），则c＝ ( 答案：B
)
8. （A）a+b （B）a－b （C）ab （D）－ab


《平面向量》专题3－8 线性运算基础
1. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
2.
3. (1)＋＝_____； (2)＋＋＝_____；(3)＋＋＝______；(4)＋＋＋＝ 答案：(1)　(2)0　(3)　(4)；
____.

4. 若向量；则（ 【答案】A
）
5.
6. 若向量，，则＝（ 【答案】A

）
7. A. 　 B． 　　 C． D．
8. 已知点A和向量＝(2,3),若,则点B的坐标为 （ [答案]　D；
设,由得,所以选D.
　　）
9. A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)




《平面向量》专题3－9 线性运算基础
1. 已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于(　 [答案]　A；
[解析]　a＝＝－
＝，λa＝a＝，故选A.

　)
2. A. B. C. D.

3. 已知则等于（ 答案：
）
4. 若＝，＝，则＝_____ 答案：
____
5. 已知A（1，2），B（4，2），则向量按向量（，3）平移后得到的向量是 ( 答案：D
)
6. （A）（3，0） （B）（3，5） （C）（，3） （D）（2，3）
7. 已知＝(2,3)，则点N位于(　 [答案]　D；
[解析]　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．

　)
8. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定

9. 若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为(　 [答案]　B；
[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)，
∵＝，∴
解得x＝－1，y＝－.

　)
10. A．(－8,1) B. C. D．(8，－1)


《平面向量》专题3－10 线性运算基础
1. 已知＝(3,4)，B(2，－1)，则点A的坐标是______ [答案]　(－1，－5)；
[解析]　设A(x，y)，则＝(2－x，－1－y)＝(3,4)．
故解得x＝－1，y＝－5.

______．
2. 已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是____ [答案]　(－1，－)；
[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．
即，解得，∴P(－1，－)．

____．
3. 已知平面向量，则向量（　 答案：
　）
4. 已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－的坐标是___ 答案：
______．

5. 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 答案：c＝－2a＋2b；
解　设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.