高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）（原卷版） (1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（    ）

A．1 B．-1 C．i D．-i

2．若双曲线的一个焦点为,则（    ）.

A．       B．       C．       D．

3．已知集合,,,则的子集的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00,01,…38,39．现要从中选出5个,利用下面的随机数表,从第一行第3列开始,由左至右依次读取,选出来的第5个零件编号是（    ）

0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410

9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179

A．36 B．16 C．11 D．14

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知,,,,则向量在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

7．已知中,,,,则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

8．执行如图所示的程序框图,若输入的的值为-3,的值为0,则输出的和值分别是（    ）

A．0和2 B．0和1 C．1和2 D．1和1

9．已知函数在同一周期内有最高点和最低点,则此函数在的值域为（    ）

A． B．

C． D．

10.已知函数,若,,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11.在正方体中,记平面为,若平面,平面,则,所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,是上除长轴端点外的任意一点,的平分线交的长轴于点,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.曲线在点处的切线方程为_____.

14. 已知,满足约束条件,则的最小值为______．

15.已知,则______.

16.已知A,B,C,D四点均在以点为球心的球面上,且,,.若球在球内且与平面相切,则球直径的最大值为______.                         

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知等差数列的前项和为,且,.

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）求数列的前项和.

18．(12分) 在四棱锥中,底面是正方形,、分别为、的中点,底面．

（1）求证：平面；

（2）若与底面所成的角为45°,,求点到平面的距离．

19．(12分) 已知为抛物线的焦点,以为圆心作半径为的圆,圆与轴的负半轴交于点,与抛物线分别交于点、.

（1）若为直角三角形,求半径的值；

（2）判断直线与抛物线的位置关系,并给出证明.

20．(12分) 首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展,成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会,提升行业竞争力,加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线的周围,据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

其中,.

（1）（i）请根据表中数据,建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（ii）根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少？（其中）

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围,并计算得回归方程为,以及该回归模型的相关指数,试比较甲乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好.

附：对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,,相关指数：.

21．(12分) 已知函数,且在处取得极值．

（1）求b的值；

（2）若当时,恒成立,求c的取值范围；

（3）对任意的,是否恒成立？如果成立,给出证明；如果不成立,请说明理由．

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；

（2）射线,和曲线分别交于点,,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含,求实数的取值范围.