高中数学高考2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）（原卷版） (1)

2021年高考数学（文）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数,则的值（    ）

A．0 B． C．2 D．1

2．已知集合,,则（    ）

A． B． C． D．

3．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

4．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作,书中共列算题81问,分为9类.全书采用问题集的形式,并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题：粮仓开仓收粮,粮农送来米1634石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷25粒,则这批米内夹谷约为（    ）

A．158石 B．159石 C．160石 D．161石

5．已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是（    ）

A．（－..,） B．（－,） C．（,－） D．（,－）

6．设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点,则两圆心的距离（    ）

A．4 B． C．8 D．

7．等差数列的前项和为,其中,,则当取得最大值时的值为（    ）

A．4或5 B．3或4 C．4 D．3

8．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位,它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图,若执行该程序框图,则输出的结果为（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

9.已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

10.已知定义在上的函数满足,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

11．若实数a,b,c满足,其中,则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知直三棱柱的底面是正三角形,,是侧面的中心,球与该三棱柱的所有面均相切,则直线被球截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.已知角终边上一点,则______.

14．某社团计划招入女生人,男生人,若满足约束条件,则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．

15．等比数列的前项和为,,,则公比为______.

16．如图正方体中,为中点,为中点,为线段上一动点(不含),过与正方体的截面为,则下列说法正确的是___________.

①当时,为五边形

②截面为四边形时,为等腰梯形

③截面过时,

④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积,则

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 在△ABC中,acosB＝bsinA．

（1）求∠B；

（2）若b＝2,c＝2a,求△ABC的面积．

18．(12分) 某湿地公园经过近十年的规划和治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的300个地块,并设计两种抽样方案,方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区,调查得到样本数据（,2,…,30）,其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,并计算得,,,,.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求方案二抽取的样本（,2,…,30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.

附：相关系数,；相关系数,则相关性很强,的值越大,相关性越强.

19．(12分) 如图,在三棱柱中,侧面底面,,,．

（1）求证：；

（2）求三棱柱的侧面积．

20．(12分) 已知函数.

（1）求证：；

（2）若,求的取值范围.

21．(12分) 已知圆：（,）过点,,椭圆与轴交于、两点,与轴交于,两点．

（1）求四边形的面积；

（2）若四边形的内切圆的半径为,点,在椭圆上,直线斜率存在,且与圆相切,切点为,求证：．

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

如图所示,已知曲线的极坐标方程为,点,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线的参数方程为,（为参数）,若直线与曲线交于、两点,求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知a,b,c为正实数,且满足.证明：

（1）；

（2）.