黑龙江省哈尔滨市五常市2022-2023学年八年级上学期期末教育质量监测数学试卷（含答案）

黑龙江省哈尔滨市五常市2022-2023学年八年级上学期期末教育质量监测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列运算一定正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方法则，逐一进行计算即可得出结论．

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、不能合并，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．

2．习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，轴对称图形个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据轴对称的定义直接选择即可．

【详解】这两个是轴对称图形，不是轴对称图形

故选：B

【点睛】此题考查轴对称图形，是根据轴对称图形沿着一直线翻折，直线两边的部分互相重合来判断．

3．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．

【详解】分母中含有字母的是，，，

∴分式有3个，

故选：B．

【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．

4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ）

A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线

C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线

【答案】B

【分析】根据高线的定义注意判断即可．

【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，

∴A错误，不符合题意；

∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，

∴B正确，符合题意；

∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，

∴C错误，不符合题意；

∵线段AD是ACD的CD边上的高线，

∴D错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．

5．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】利用非负性，求出的值，分是腰长和是腰长，两种情况，讨论求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴；

当是腰长时：，三边不能构成三角形，

∴为腰长，

∴三角形的周长是：；

故选B．

【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及非负性．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，以及等腰三角形两腰相等，是解题的关键．

6．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．

【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；

B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；

C、，不能判断，选项不符合题意；

D、，不能判断，选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．

7．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．

【详解】解：∵，

∴

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．

8．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18

【答案】B

【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案．

【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，

∴，

∵，，

∴的周长．

故选：B．

【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

9．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树60棵，实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设实际每天植树x棵，则原计划每天植树棵，根据等量关系“实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同”即可列出分式方程．

【详解】解：设实际每天植树x棵，则原计划每天植树棵，

根据题意，可列方程：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了由实际问题列分式方程，审清题意、正确找出相等关系是解答本题的关键．

10．如图，在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于点F，连接，则下面的结论：①，②，③，④若，，．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】首先证明再利用全等三角形的性质以及圆周角定理、角平分线的性质定理一一判断即可．

【详解】解：，

，

，

，

平分，

，

，

，

，

°，

，

，

，

，

故②正确，

如图，延长交于，连接．

，

，

，

，

，

，

四点共圆，

，

，

如果，

，

，

，

，但题目没有说明，

故①不正确，

如图，作于，

平分，

，

，

，故④正确，

无法判断，故③错误，

故选B．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．

二、填空题

11．若分式有意义，则x的取值范围是__________．

【答案】

【分析】分式的分母2x-1是非负数，据此可以求得x的取值范围．

【详解】解：根据题意得，，

解得，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键.

12．因式分解：___________．

【答案】

【分析】利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

故答案为：

【点睛】此题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式进行分解，且在实数范围内分解．

13．如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________．

【答案】

【分析】由全等三角形的性质可得，可求得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而得解．

【详解】解：∵绕点C旋转得到，

∴ ，

∴，

∴ ，

即

∵，

∴ ，

∴ ．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，旋转的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

14．在“等边三角形、长方形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是___________．

【答案】圆

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，

所以对称轴条数最多的图形是圆．

故答案为：圆．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

15．若，，则的值为_______．

【答案】90

【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．

【详解】解：∵，，

∴

．

故答案为：90．

【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．

16．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．

【答案】30°##30度

【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．

【详解】，

，

，，

，

故答案为：30°．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

17．2021年10月16日，我国神舟13号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约的信息．将数0.000003用科学计数法表示应为___________．

【答案】

【分析】根据科学计数法表示方法直接求解即可．

【详解】

故答案为：

【点睛】此题考查科学计数法，解题关键是表示方法为：．

18．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为___________．

【答案】10

【分析】分两种情况讨论：①；②，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案．

【详解】解：是等腰三角形，

，

是“倍长三角形”，，

①当时，；

②当时，，根据三角形三边关系，此时，A、B、C不能构成三角形，不符合题意，

所以，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为10，

故答案为：10．

【点睛】．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．

19．若关于的方程无解，则的值为_________．

【答案】0或4##4或0

【分析】先将分式方程化为整式方程（m-4）x=2，根据题意分m-4=0、x=0和x=情况求解即可．

【详解】解：原方程可化为2（2x+1）=mx，即（m-4）x=2，

∵方程无解，

∴m-4=0或x=0或x=，

当m-4=0即m=4时，方程（m-4）x=2无解，即原分式方程无解，

当x=0时，m无解，

当x=时，m=0，

综上，m的值为0或4，

故答案为：0或4．

【点睛】本题考查解分式方程，熟知分式方程无解时的等价关系是解答的关键．

20．如图，在钝角三角形中，，，点A、C关于轴对称，连接、，点P、Q分别是、上的动点，的最小值为___________．

【答案】##

【分析】连接，根据轴对称的性质，得出，即，得出当A、P、Q在同一直线上，且时，最小，过点A作于点P，连接，先证明，根据勾股定理求出结果即可．

【详解】解：连接，

∵点A、C关于轴对称，

∴，

∴，

∴当A、P、Q在同一直线上，且时，最小，

过点A作于点P，连接， 如图所示：

∵点A、C关于轴对称，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得：或（舍去），

∴的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出当A、P、Q在同一直线上，且时，最小．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值，其中．

【答案】，

【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值．

【详解】解：

∵，

∴．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．

22．已知a，b，c分别是△ABC'的三边长，若，试判断△ABC的形状，并说明理由

【答案】是等腰三角形，理由见解析

【分析】首先将已知等式进行因式分解，然后由三角形三边都大于0，且，解得到，即可判定.

【详解】解：是等腰三角形.理由如下：

，

整理得，，

因式分解得，，

∵，，是的三边，都大于0，且，

∴，即，

∴是等腰三角形.

【点睛】此题主要考查因式分解的应用，利用三角形三边都大于0，，即可解题.

23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)请在图中作出关于y轴对称的，点A的对应点是，点B、C的对应点分别是、；

(2)写出点的坐标，并求出的面积；

(3)点P是y轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点P的坐标．

【答案】(1)见解析

(2)，

(3)或

【分析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点即可；

(2)利用(1)所画图形写出、、三点的坐标，然后用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得的面积；

(3)分两种情况，通过画图及一次函数与y轴的交点，即可解答．

【详解】（1）解：如图：

（2）解：由图可知：，，，

（3）解：与关于y轴对称，

，

如图：当点P在x轴上方时，过点C作交y轴于点P，

由图可知：，四边形是平行四边形，

，此时点P的坐标为，

如图：当点P在x轴下方时，过点B作交y轴于点，

设直线的解析式为，

把点A、C的坐标分别代入解析式，得

解得

故直线的解析式为，

，

设直线的解析式为，

把点B的坐标代入解析式，得，

解得，

故直线的解析式为，

令，则，

故的坐标为，

综上，点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了画轴对称图形，坐标变换轴对称，求不规则图形面积，求一次函数的解析式，画出图形，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．

24．如图1，，，．

(1)求证：；

(2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．

【答案】(1)见解析

(2)，，，

【分析】（1）先证明，根据全等三角形的判定和性质证明即可；

（2）根据等腰三角形的判定方法判断即可．

【详解】（1）证明：∵，，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴．

在和中，，

∴（），

∴．

（2）如图：

由（1）可知，

∴是等腰三角形；

∵点E是的中点，，

∴，

∴是等腰三角形；

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

故等腰三角形有，，，．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

25．某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．

(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？

(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？

【答案】(1)该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元

(2)每件T恤衫的标价至少是80元

【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；

（2）设每件T恤衫的标价是元，根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式，求解即可．

【详解】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，

由题意得，，

解得，

经检验，是原方程的解且符合题意，

，

所以，该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元；

（2）两批T恤衫的数量为（件），

设每件T恤衫的标价是元，由题意得：

，

解得

所以，每件T恤衫的标价至少是80元．

【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．

26．已知：在中，，点D在边上，过点D作于点E．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，点F在边上，连接，使，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，交边于G，点G是中点，若，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)9

【分析】（1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可；

（2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用得到，然后证明出，根据全等三角形的性质求解即可；

（3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形，利用线段之间的关系求解即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，，，

∴．

∵，，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，，

∴．

∵，

∴；

（3）连接．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，，

∴．

∵点G是中点，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴是等边三角形，，

∴．

∵，

∴，  

∴．

∵，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

27．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点E，且．

(1)求证：；

(2)点在直线上，设点的横坐标是，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在值，使？若存在，请求出符合条件的值及的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)

(3)，

【分析】（1）根据等角的余角相等得出，根据已知条件得出，证明≌，则，，即可得证；

（2）根据已知条件得出，作轴于，轴于，根据（1）的结论得出平分第一、三象限，则点的坐标是，根据三角形面积列出函数关系式，即可求解；

（3）作轴于，轴于．点的坐标是，与坐标轴的夹角是，作坐标轴于F，则是等腰直角三角形，根据，得出，进而得出，根据勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：∵是的高，

∴，

∴，

∴．

∵轴轴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴≌，

∴，．

∵，

∴．

（2）∵，

∴，，，

∴，

作轴于，轴于．

∵，

∴，，

∴平分第一、三象限．

∵点在直线上，点的横坐标是，

∴点的坐标是，

∴，

∴．

（3）∵，

，

∴，

∴，

∴．

∵平分第一、三象限，

∴与坐标轴的夹角是，

作坐标轴于F，则是等腰直角三角形，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．