辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（    ）

A． B． C． D．

2．下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A．  B． C． D．

3．下列各种现象属于中心投影的是（    ）

A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影

C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子

4．下列四个点中，在反比例函数的图象上的是【 】

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）

5．关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

6．一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右，请估计箱子里红色小球的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，与位似，点O是位似中心，若，，则（    ）

A．9 B．12 C．16 D．36

8．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（   ）

A． B． C． D．

9．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   )

A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50

C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50

10．已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．已知，则______．

12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

13．不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______．

14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为_____．

15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则______．

16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．

三、解答题

17．解方程：．

18．如图所示，在矩形中，，，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)直接写出线段的长度为______．

19．如图，为内的一点，为外的一点，且，．

(1)求证：；

(2)若，A，直接写出线段的长度为______．

20．为更好学习中国共产党第二十次全国代表大会精神，某中学举行党史知识竞赛，若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．

21．临近元旦，某网红童装店销售童装，平均每天可售出20套，每套盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每套盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售每套童装单价每降低1元，平均每天可多售出2套．

(1)若每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为______套；

(2)当每套商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？

22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．

(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；

(2)根据图象直接写出不等式的解集；

(3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标．

23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，为的中点，且，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到达点停止运动．设运动时间为秒，的面积为．

(1)直接写出点的坐标(______，______)；

(2)求关于的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．

(1)求证：；

(2)将正方形绕点C按逆时针方向旋转，使边经过点D，如图2，连接和，写出和的位置关系，并说明理由；

(3)在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为5，正方形的边长为4，直接写出的值．

25．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．

(1)如图1，当时，直接写出______度和点的坐标(______，______)；

(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，求出的长用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；

(3)若折叠后的重合部分的面积为，则的值可以是______(请直接写出两个不同的值即可)．

参考答案：

1．C

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可解答．

【详解】解：∵从左边看得到的图形是左视图，

∴该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形，

故选：C．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，注意圆锥的左视图是三角形．

2．D

【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

【详解】A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

3．A

【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．

【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；

B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；

C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；

D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．

4．A

【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足的点即为所求

【详解】点（3，﹣2）满足，符合题意，

点（3，2）不满足，不符合题意，

点（2，3）不满足，不符合题意，

点（﹣2，﹣3）不满足，不符合题意

故选A．

5．A

【分析】将代入原方程即可求出结果．

【详解】解：将代入原方程得，解得．

故选：A．

【点睛】题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．

6．C

【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．

【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是（个），

故选：C．

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

7．D

【分析】根据位似变换的性质得到，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．

【详解】解：与位似，

，

，

，

，

，

，

故选：D．

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．

8．A

【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．

【详解】解：由题可知，，

∴,

∴，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．

9．A

【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．

【详解】解：由题意可得，

，

故选：A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．

10．A

【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．

【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；

若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．

故选项A正确；

故选A．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

11．4

【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．

【详解】解：，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．

12．##

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．

13．##0.4

【分析】根据概率的定义，抽到黑球的概率 ，代入数值计算即可.

【详解】抽到黑球的概率：，

故答案为：.

【点睛】本题考查概率，注意利用概率的定义求解.

14．

【分析】在矩形ABCD中，BE⊥EF，易证得△ABE∽△DEF，然后由相似三角形的对应边成比例，先求出DF的长度，然后根据勾股定理求出EF的长即可

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠ABE+∠AEB=90°，

∵BE⊥EF，

∴∠AEB+∠DEF=90°，

∴∠ABE=∠DEF，

∴△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB=6，AE=9，DE=2

∴DF=3，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.

15．32

【分析】由点B的坐标为求出，又，与y轴平行，可得，用待定系数法即得答案．

【详解】解：∵点B的坐标为，，

∴，

又，

∴，

∵与y轴平行，

∴，把代入，得：，

解得，

故答案为：32．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点A的坐标．

16．或

【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．

【详解】解：∵D为AB中点，

∴，即，

取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，

∴，

在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，

∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠C=60°，BC＝，

∵DE1∥BC，

∴∠DE1E2=60°，

∴△DE1E2是等边三角形，

∴DE1＝DE2＝E1E2＝，

∴E1E2＝，

∵，

∴，即，

综上，的值为：或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．

17．，

【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．

【详解】解：

∴或

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）由矩形的性质可得，可得结论；

（2）根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：∵在矩形中，，，．

∴，，

∴，

∴，

即，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断；

（2）先利用得，根据比例的性质得到 得出，进而即可求解．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∵，A，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

20．

【分析】根据列表法求概率即可求解．

【详解】解：列表如下

共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，

则恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为．

【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．

21．(1)30

(2)10

【分析】（1）根据单价每降低1元，平均每天可多售出2套，即可得出结论；

（2）设每套降价元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，在根据利润为1200即可得出结论；

【详解】（1）∵每降低1元，平均每天可多售出2套；

∴每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为：20+2×5=30

故答案为：30

（2）设每套降价元，

则，

解得，，

∵每套盈利不少于25元，

所以，应降价10元；

答：当每套商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的关系式是解题的关键．

22．(1)，

(2)或

(3)或

【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，B点横坐标与纵坐标分别与A点横坐标与纵坐标互为相反数；

（2）根据图象分析，不等式的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围；

（3）设，根据勾股定理表示出，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．

【详解】（1）解：∵点的横坐标为，代入正比例函数，

得，

∴,

∴，解得：

∴反比例函数，

∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，

∴A与B关于原点对称，则；

（2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为：或；

（3）解：设，

∵,，

∴，，，

当是直角三角形且以为直角边时，则

或

即或，

解得：或，

∴或 ．

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键．

23．(1)

(2)或

(3)存在，点P的坐标是或或

【分析】（1）根据，，得出菱形的边长，进而勾股定理求得，即可求得的坐标；

（2）当时，点在上运动，，，当时，点在上运动，，如图所示，过点作交的延长线于点，结合图形，分别根据三角形面积公式进行计算即可求解；

（3）分三种情况讨论即可求解．

【详解】（1）解：∵菱形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

故答案为：．

（2）解：当时，点在上运动，，，

当时，点在上运动，，

如图所示，过点作交的延长线于点，

∵，

∴，

∴，

综上所述，或；

（3）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下：

依题意，当点在上运动时，可以是等腰三角形，

∵为的中点，

∴

当时，，

∴,

如图所示，过点作,

∵，

∴

∴，

即

∴,

当时，

设，则，则

在中，

∴，

解得：.

∴,

即；

当时，则,

∴，

即,

综上所述，的坐标为：或或．

【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)，理由见解析

(3)82

【分析】（1）根据正方形的性质可得，，即可；

（2）先证明，可得，从而得到，再由四边形内角和定理，即可；

（3）过点E作交的延长线于点H，根据勾股定理求出的长，再由，可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，

∴，，

∴；

（2）解：，理由如下：

如图，延长交于点M，

∵四边形和四边形都是正方形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即；

（3）解：如图，过点E作交的延长线于点H，

∵正方形的边长为5，正方形的边长为4，

∴，

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．

25．(1)60；

(2)

(3)．

【分析】（1）如图所示，过点作于点，根据折叠的性质得出，，即可得出，在中，，进而求得，即可求得的坐标；

（2）根据题意得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据即可求解；

（3）如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形，根据题意得出方程，得出或，不合题意，当时，折叠后的重合部分的面积为，继而即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，

∴，

∵，当时，，

∵，

∴

∵折叠，

∴，

∴，

在中，，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：60；．

（2）∵点，

∴,

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵折叠后重合部分为四边形，当在上时，

，解得：，

当与重合时，，

∴，

∴；

（3）解：如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形，

∵，，

∴

∴，

∵，，

∴，

∴

∴

∵折叠后的重合部分的面积为，

∴

解得：或

∵

∴或不合题意，

当时，如图所示，过点作于点，

∵，，

∴,

又∵折叠，

∴，则

∴，

∴

∴时，折叠后的重合部分的面积为，

当点与点重合时，

∴当时，折叠后的重合部分的面积为，

∴可以是；

故答案为：．

【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形是解题的关键．