2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期中试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配方即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法；能够将一元二次方程配成标准形式，再利用直接开平方法求解是解题的关键．
2. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 10B. 40C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，在图形中，结合菱形性质，对角线互相垂直平分，利用勾股定理得到菱形边长即可得到菱形周长．
【详解】解：根据题意，作图如下：
，
，
在中，，则，
菱形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理求线段长，涉及菱形四条边相等、对角线相互垂直平分等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A. 邻边相等B. 四个角都是直角
C. 对角线相等D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分.
故选：D.
4. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A、B、C表示）展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小春选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、陶艺三门课程分别用A、B、C表示）
由树状图可知共有9种可能的结果数，其中小波和小春选到同一课程的结果数为3，
所以小波和小春选到同一课程的概率，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
5. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为万元，第三个月的销售额为万元，设两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得答案；
【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
6. 已知，和是它们的对应中线，若，，则与△面积的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，和是它们的对应中线，，，
∴，
∴与的面积比是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟知相似三角形的性质是解题关键．
7. 关于的一元二次方程的两根为，．那么下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根为，，
即方程有两个不相等的实数解，
△．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式的性质，理解根的判别式是解决问题的关键．
8. 如图，在中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【详解】解： ，，

，

解得：经检验符合题意
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的性质可得矩形与矩形位似比为，即可求解．
【详解】解：矩形与矩形位似，矩形的面积等于矩形面积的，
矩形与矩形位似比为，
位似中心是原点，，
点的坐标为，或，，即或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
10. 如图，在中，，于点，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长．
【详解】解：中，，；
；
又于，
，
；
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够正确判定三角形相似，利用性质建立比例式时解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 方程是关于的一元二次方程，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
13. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是_______．
【答案】30
【解析】
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得＝30%，
解得n＝30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为30．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14. 如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
【答案】当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【解析】
【分析】设DP=x，则BP=BD-x=14-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
【详解】解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即，
解得；
当时，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
15. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为________米．
【答案】
【解析】
【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM=1.6，
设FA=x米，由3FD=2FA得，FD=x=MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴，即，
∴，
∵PN+MN=PM，
∴，
解得，x=，
故答案为：．
【点睛】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF=×2=1，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH，
在△PDH和△CFH中
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD=CF=1，
∴AP=AD-PD=1，
∴PE==，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=EP=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
【小问1详解】
，
，
或，
，，
【小问2详解】
，
整理得：，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的方法，主要有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，掌握以上方法是解题关键．
18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
（1）求证：；
（2）若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解析】
【分析】（1）直接根据已知条件，利用正方形和平行四边形的性质求解即可．
（2）由平行四边形的面积公式求出高，然后即可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形为正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即；
【小问2详解】
解：平行四边形的面积为，，四边形为正方形，
，，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．
19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 ___________；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色质不放回，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次摸到的球恰好是1个白球和1个黄球的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用概率公式求解即可
（2）画出树状图，可知共有种等可能结果数，其中恰好是1个白球和1个黄球的有2种，利用概率公式即可求解
【小问1详解】
一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：．
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如图所示：
共有种等可能的结果数，其中恰好是1个白球和1个黄球的有2种，
恰好是1个白球和1个黄球的概率为
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握画树状图和列表的方法求概率是解决问题的关键
四、（每小题8分，共16分）
20. 如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】花砖路面的宽度为1米
【解析】
【分析】设花砖路的宽度为x m，根据面积关系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可．
【详解】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程．
21. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【解析】
【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA−OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
22. 已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题．
【详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．
23. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；
（2）商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？
【答案】（1）涨10元或30元
（2）80元
【解析】
【分析】（1）设销售单价涨x元，则每件的销售利润为元，月销售量为件,利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）利用月销售成本=每件的销售成本×月销售量，可分别求出取各x值的月销售成本，结合月销售成本不超过9000元，即可得出销售定价应为80元．
【小问1详解】
解：设销售单价涨元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元
【小问2详解】
解：当时，月销售成本为，不合题意，舍去；
当时，月销售成本为，符合题意，此时．
销售定价应为80元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，求出取各值的月销售成本．
24. 在菱形中，对角线，交于点，且，；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位长度；若，两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点作，交于点，交于点，设运动时间为，解答下列问题：
（1）直接写出菱形的边长为 ___________，并直接用含的代数式表示的长度 ___________；
（2）求当为何值时，线段；
（3）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）或4或
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用表示长度即可；
（2）当时，四边形为平行四边形，利用可得出答案；
（3）三角形为等腰时分三种情况讨论．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
故答案为：10，；
小问2详解】
四边形菱形，
，
当时，四边形是平行四边形，此时，
，
，
即当为时，线段；
【小问3详解】
分三种情况：
①如图2，，
，
，
，
，
，
，即，
；
②如图3，，
，，
，
；
③如图4，，过点作于，
，
，，
，
，即，
，
，
，
；
综上所述，当或4或4.5，以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．
25. 如图，已知四边形和四边形都是正方形，是对角线．
（1）如图1，已知点在正方形的对角线上，于点，于点．
①求证：四边形是正方形；
②直接写出的值为 ___________；
（2）如图2，将正方形绕点逆时针方向旋转角，写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，延长交于点．若，，直接写出正方形和正方形的边长．
【答案】（1）①见解析，②
（2），理由见解析
（3）正方形的边长为3，正方形的边长为
【解析】
【分析】（1）①先证明四边形是矩形，再证明，即可证明四边形是正方形；②先根据正方形的性质得到，并证明，再由平行线分线段成比例定理即可得到；
（2）连接，根据旋转的性质得到，证明，得到，由此即可得到结论；
（3）由，推出，由此可证，得到，设，则，可求出，则，，再由，求出，即，则，，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：①证明：四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；·
②解：由①知四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，
由旋转性质知，
在和中，，，
，
，
，
线段与之间的数量关系为；
【小问3详解】
解：，点、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
则由，得，
，
∴，
∴，
，
，
解得：，即，，
，
四边形是正方形，
，
综上，正方形的边长为3，正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．