2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期数学期末试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可解答．
【详解】解：∵从左边看得到的图形是左视图，
∴该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，注意圆锥的左视图是三角形．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3. 下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 阳光下旗杆的影子
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
4. 下列四个点中，在反比例函数的图象上的是【 】
A. （3，﹣2）B. （3，2）
C. （2，3）D. （﹣2，﹣3）
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足的点即为所求
【详解】点（3，﹣2）满足，符合题意，
点（3，2）不满足，不符合题意，
点（2，3）不满足，不符合题意，
点（﹣2，﹣3）不满足，不符合题意
故选A．
5. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】将代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将代入原方程得，解得．
故选：A．
【点睛】题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．
6. 一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右，请估计箱子里红色小球的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是（个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7. 如图，与位似，点O是位似中心，若，，则（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质得到，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：与位似，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
9. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
10. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图象确定b符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
13. 不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据概率的定义，抽到黑球的概率 ，代入数值计算即可.
【详解】抽到黑球的概率：，
故答案为：.
【点睛】本题考查概率，注意利用概率的定义求解.
14. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】在矩形ABCD中，BE⊥EF，易证得△ABE∽△DEF，然后由相似三角形的对应边成比例，先求出DF的长度，然后根据勾股定理求出EF的长即可
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵BE⊥EF，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB=6，AE=9，DE=2
∴DF=3，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则______．
【答案】32
【解析】
【分析】由点B的坐标为求出，又，与y轴平行，可得，用待定系数法即可求k．
【详解】解：∵点B的坐标为，，
∴，
又，
∴，
∵与y轴平行，
∴，把代入，得：，
解得，
故答案为：32．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点A的坐标．
16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．
【详解】解：∵D为AB中点，
∴，即，
取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
综上，的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
18. 如图所示，在矩形中，，，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）直接写出线段的长度为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得，可得结论；
（2）根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵在矩形中，，，．
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
19. 如图，为内的一点，为外的一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，A，直接写出线段的长度为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断；
（2）先利用得，根据比例的性质得到 得出，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，A，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20. 为更好学习中国共产党第二十次全国代表大会精神，某中学举行党史知识竞赛，若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【答案】
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下
共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，
则恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为．
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
21. 临近元旦，某网红童装店销售童装，平均每天可售出20套，每套盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每套盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售每套童装单价每降低1元，平均每天可多售出2套．
（1）若每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为______套；
（2）当每套商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
【答案】（1）30 （2）10
【解析】
【分析】（1）根据单价每降低1元，平均每天可多售出2套，即可得出结论；
（2）设每套降价元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，在根据利润为1200即可得出结论；
【小问1详解】
∵每降低1元，平均每天可多售出2套；
∴每套童装降价5元，则平均每天销售数量为：20+2×5=30
故答案为：30
【小问2详解】
设每套降价元，
则，
解得，，
∵每套盈利不少于25元，
所以，应降价10元；
答：当每套商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的关系式是解题的关键．
五、（本题10分）
22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，B点横坐标与纵坐标分别与A点横坐标与纵坐标互为相反数；
（2）根据图象分析，不等式解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围；
（3）设，根据勾股定理表示出，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵点的横坐标为，代入正比例函数，
得，
∴,
∴，解得：
∴反比例函数，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
∴A与B关于原点对称，则；
【小问2详解】
解：根据函数图象可知，不等式的解集为：或；
【小问3详解】
解：设，
∵,，
∴，，，
当是直角三角形且以为直角边时，则
或
即或，
解得：或，
∴或 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键．
六、（本题10分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，为的中点，且，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到达点停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）直接写出点的坐标(______，______)；
（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，点P的坐标是或或
【解析】
【分析】（1）根据，，得出菱形的边长，进而勾股定理求得，即可求得的坐标；
（2）当时，点在上运动，，，当时，点在上运动，，如图所示，过点作交的延长线于点，结合图形，分别根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）分三种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：∵菱形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：当时，点在上运动，，，
当时，点在上运动，，
如图所示，过点作交的延长线于点，

∵，
∴，
∴，
综上所述，或；
【小问3详解】
解：存在点，使是等腰三角形，理由如下：
依题意，当点在上运动时，可以是等腰三角形，
∵为的中点，
∴
当时，，
∴,
如图所示，过点作,
∵，
∴
∴，
即
∴,
当时，
设，则，则
在中，
∴，
解得：.
∴,
即；
当时，则,
∴，
即,
综上所述，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了菱形性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
七、（本题12分）
24. 如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．
（1）求证：；
（2）将正方形绕点C按逆时针方向旋转，使边经过点D，如图2，连接和，写出和的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为5，正方形的边长为4，直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）82
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，即可；
（2）先证明，可得，从而得到，再由四边形内角和定理，即可；
（3）过点E作交的延长线于点H，根据勾股定理求出的长，再由，可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，延长交于点M，
∵四边形和四边形都正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：如图，过点E作交的延长线于点H，
∵正方形的边长为5，正方形的边长为4，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
八、（本题12分）
25. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．
（1）如图1，当时，直接写出______度和点的坐标(______，______)；
（2）如图2，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，求出的长用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
（3）若折叠后的重合部分的面积为，则的值可以是______(请直接写出两个不同的值即可)．
【答案】（1）60；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点作于点，根据折叠的性质得出，，即可得出，在中，，进而求得，即可求得的坐标；
（2）根据题意得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据即可求解；
（3）如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形，根据题意得出方程，得出或，不合题意，当时，折叠后的重合部分的面积为，继而即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，
∴，
∵，当时，，
∵，
∴
∵折叠，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：60；．
【小问2详解】
∵点，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵折叠后重合部分为四边形，当在上时，
，解得：，
当与重合时，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形，
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵折叠后的重合部分的面积为，
∴
解得：或
∵
∴或不合题意，
当时，如图所示，过点作于点，
∵，，
∴,
又∵折叠，
∴，则
∴，
∴
∴时，折叠后的重合部分的面积为，
当点与点重合时，
∴当时，折叠后的重合部分的面积为，
∴可以是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形是解题的关键．