辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1．用配方法解方程，则方程可变形为　　

A． B． C． D．

2．一个菱形的两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长是　　

A．40 B．20 C．10 D．25

3．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是　　

A．邻边相等 B．四个角都是直角 

C．对角线相等 D．对角线互相平分

4．某学校在七年级开设了数学史、诗词赏析、编程三门课程，若小明和小颖两名同学每人随机选择其中一门课程，则小明和小颖选到同一门课程的概率是　　

A． B． C． D．

5．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为4万元，第三个月的销售额为5.76万元，设两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为　　

A． B． 

C． D．

6．已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△面积的比是　　

A． B． C． D．

7．关于的一元二次方程的两根为，．那么下列结论一定成立的是　　

A． B． C． D．

8．如图，在中，，，若，则　　

A． B． C． D．

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标为　　

A． B．或 

C． D．或

10．如图，在中，，于点，若，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．方程是关于的一元二次方程，则　　．

12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 　　．

13．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数　　．

14．如图，，，，，．点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则的长为　　．

15．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为 　　米．

16．如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别是，的中点，连接，则的长度为　　．

三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）

17．（8分）解下列方程：

（1）；

（2）．

18．（6分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．

（1）求证：；

（2）若平行四边形的面积为28，，直接写出线段的长为 　　．

19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．

（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　；

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色质不放回，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次摸到的球恰好是1个白球和1个黄球的概率．

四、（每小题8分，共16分）

20．如图，某小区居委会打算把一块长，宽的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是．请计算花砖路面的宽度．

21．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高．

五、（本题10分）

22．（10分）已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：．

六、（本題10分）

23．（10分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：

（1）求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；

（2）商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？

七、（本题12分）

24．（12分）在菱形中，对角线，交于点，且，；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位长度；若，两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点作，交于点，交于点，设运动时间为，解答下列问题：

（1）直接写出菱形的边长为 　　，并直接用含的代数式表示的长度 　　；

（2）求当为何值时，线段；

（3）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

八、（本题12分）

25．（12分）如图，已知四边形和四边形都是正方形，是对角线．

（1）如图1，已知点在正方形的对角线上，于点，于点．①求证：四边形是正方形；②直接写出的值为 　　；

（2）如图2，将正方形绕点逆时针方向旋转角，写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，延长交于点．若，，直接写出正方形和正方形的边长．

2022-2023学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1．【解答】解：，

，

，

，

故选：．

2．【解答】解：如图所示，

四边形是菱形，

，，，，

是直角三角形，

，

此菱形的周长．

故选：．

3．【解答】解：、矩形的邻边不相等，错故选项误，

、菱形的四个角不是直角，故选项错误，

、菱形的对角线不相等，故选项错误，

、三个图形中，对角线都互相平分，故选项正确．

故选：．

4．【解答】解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、编程三门课程分别用、、表示），

共有9种等可能的结果数，其中小明和小颖选到同一门课程的结果数为3，

所以小明和小颖选到同一门课程的概率．

故选：．

5．【解答】解：根据题意得，

故选：．

6．【解答】解：△，和是它们的对应中线，，，

两三角形的相似比为：，

则与△的面积比是：．

故选：．

7．【解答】解：关于的一元二次方程的两根为，，

即方程有两个不相等的实数解，

△．

故选：．

8．【解答】解：，

，

，

，

．

故选：．

9．【解答】解：矩形与矩形位似，矩形的面积等于矩形面积的，

矩形与矩形位似比为，

位似中心是原点，，

点的坐标为，或，，即或，

故选：．

10．【解答】解：，于，

，

．

故选：．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．【解答】解：方程是关于的一元二次方程，

，且，

解得；

故答案是：．

12．【解答】解：，

，

或，

解得，，

当时，，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去，

当时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是，

故答案为：13．

13．【解答】解：根据题意得，

解得，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故答案为：30．

14．【解答】解：设，则，

于，于，

，

当时，，

即，

解得：，

，

当时，，即；

整理得，

解得，，

，，

当为8.4或2或12时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．

故答案为：8.4或2或12．

15．【解答】解：如图，过点作，交于点，由于，可是米，则米，

四边形是矩形，

，

，

，

即．

解得，

即米，

故答案为：．

16．【解答】解：连接并延长交于，连接，

四边形是正方形，

，，，

，分别是边，的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

点，分别是，的中点，

．

三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）

17．【解答】解：（1），

，

或，

，，

（2），

整理得：，

，

，

，．

18．【解答】（1）证明：四边形为正方形，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

即；

（2）解：平行四边形的面积为28，，四边形为正方形，

，，，

，

，

故答案为：3．

19．【解答】解：（1）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同，

搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：．

故答案为：；

（2）画树状图如图所示：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是1个白球和1个黄球的有2种，

恰好是1个白球和1个黄球的概率为．

四、（每小题8分，共16分）

20．【解答】解：设花砖路面的宽度为，则中间花圃的长，宽，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

，

，

．

答：花砖路面的宽度为．

21．【解答】解：解法一：，

，

，

，

，即，

，

同理得，

，即，

，

（米；

解法二：如图，过点作于，交于，

，

，即，

，

即（米，

答：旗杆的高是3米．

五、（本题10分）

22．【解答】证明：平分，

，

，

，

，，

，

，，

，

，即：，

，

．

六、（本題10分）

23．【解答】解：（1）设销售单价涨元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

答：当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元．

（2）当时，月销售成本为，不合题意，舍去；

当时，月销售成本为，符合题意，此时．

答：销售定价应为80元．

七、（本题12分）

24．【解答】解：（1）四边形是菱形，

，，，

，

，

，，

，

，

，

即，

；

故答案为：10，；

（2）四边形菱形，

，

当时，四边形是平行四边形，此时，

，

，

即当为时，线段；

（3）分三种情况：

①如图2，，

，

，

，

，

，

，即，

；

②如图3，，

，，

，

；

③如图4，，过点作于，

，

，，

，

，即，

，

，

，

；

综上所述，当或4或4.5，以，，为顶点的三角形是等腰三角形．

八、（本题12分）

25．【解答】（1）①证明：四边形是正方形，

，，

、，

，

四边形是矩形，，

，

四边形是正方形；

②解：由①知四边形是正方形，

，，

，，

，

故答案为：；

（2）解：连接，

由旋转性质知，

在和中，，，

，

，

，

线段与之间的数量关系为；

（3）解：，点、、三点共线，

，

，

，

，

，

，

，

设，则，

则由，得，

，

则，，

，

，

解得：，

即，，

，

四边形是正方形，

，

综上，正方形的边长为3，正方形的边长为．

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