初中数学苏科版七年级下册11.5 用一元一次不等式解决问题课后练习题

11.5  用一元一次不等式解决实际问题（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．有一根的金属棒，欲将其截成x根的小段和y根的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】

根据金属棒的长度是40cm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定．

【详解】

解：根据题意得：，

则，

且是正整数，

的值可以是：1或2或3或4．

当时，，则，此时，所剩的废料是：cm；

当时，，则，此时，所剩的废料是：cm；

当时，，则，此时，所剩的废料是：cm；

当时，，则（舍去）．

则最小的是：，．

故选：C．

【点睛】

本题考查了不等式的应用，读懂题意，列出算式，正确确定出，的所有取值情况是本题的关键．

2．在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是，操作人员跑步的速度是6m/s．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意可知：操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450米以外的安全区域，列出不等式，解不等式即可．

【详解】

解：设导火线长度为xcm，根据题意得， ＞，

解得x＞90，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．

3．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（   ）

A．10km B．9 km C．8km D．7 km

【答案】B

【分析】

设路程为x千米，依题意得13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解不等式即可．注意考虑到不足1千米也按1千米收费．

【详解】

解：设路程为x千米，

依题意得13＜7+1.2（x-3）≤14.2，

解得8＜x≤9，

故这人乘的最大路程是9km,

故选：B

【点睛】

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式，再求解．

4．某商贩去批发市场买西瓜，他上午买了300斤，每斤价格x元，下午买了200斤，每斤价格y元．后来他以每斤价格卖出，结果发现自己亏了钱，其原因是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

题目中的不等关系是：买西瓜每斤平均价＞卖黄瓜每斤平均价．

【详解】

解：根据题意得，他买西瓜每斤平均价是，

以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，

则＞，

解之得，x＞y．

所以赔钱的原因是x＞y．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式．

5．某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（   ）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

【答案】B

【分析】

设4人车租x辆，6人车租y辆，根据没有空座列出方程，结合至少有1名教师列出不等式，求解即可．

【详解】

解：设4人车租x辆，6人车租y辆，

∵不得有空座，

则

∴

又∵每辆车上至少有1名教师，

∴

把代入得，

∴

∵x、y都是整数，

由知x是3的倍数，

因此，当x=0时，y=8；

当x=3时，y=6；

当x=6时，y=4；

故有3种方案，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程与一元一次不等式的应用，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程和不等式求解．

6．等腰三角形的周长为且三边均为整数，底边可能的取值有（    ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

设底边为xcm，根据题意得腰cm为整数，且x<10，可得出底边的取值．

【详解】

设底边为xcm，根据题意得腰cm为整数，

∵能构成三角形，

∴x<20-x，x<10，

∴x可取的值为：2、4、6、8，

故选：D．

【点睛】

此题考查三角形的三边关系，利用不等式解决实际问题，设边长时很重要，这腰长的话需要讨论 范围，故设底边较好，根据三角形三边关系就可以解答．

二、填空题

7．一个工程队原定在天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于工程调整工期，需要提前两天完成挖土任务，则以后的几天内每天至少要挖土__________．

【答案】80

【分析】

设以后几天内，平均每天要挖掘xm3土方，根据题意可知原定在10天，已经干了两天，还要求提前2天，即为要6天至少挖掘（600-120）m3的土方，根据题意可得不等式，解不等式即可．

【详解】

设平均每天挖土xm3，

由题意得：（10﹣2﹣2）x≥600﹣120，

解得：x≥80．

答：平均每天至少挖土80m3．

故答案为：80．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出不等关系，正确列出不等式，注意本题中提前两天完成任务，故实际挖土时间只有8天．

8．某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．

【答案】40

【分析】

设出A型放大镜为x个，根据不等关系列出不等式，求解即可．

【详解】

设A型放大镜x个，则B型放大镜为x个，

根据题意可得：20x+15×x≤1100．

解得：x≤40．

故答案为：40．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是找出其中的不等量关系，并列出不等式．

9．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A、B、C三类糖果．已知一班分别购买 A、B、C三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A、B、C三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A与C单价差大于25元．则三班分别购买A、B、C三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．

【答案】296

【分析】

可设A单价x元，B单价y元，由三类糖果单价和为108元得C单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2，可得x、y的关系式，再由A与C单价差大于25元，可得一元一次不等式，根据各单价是低于50元/千克的整数求出符合题意的解即可

【详解】

解：设A单价x元，B单价y元

三类糖果单价和为108元得C单价为（108-x-y）元

又一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得：

整理可得：2x+3y=216①

又A与C单价差大于25元，即x-（108-x-y）>25

整理可得：2x+y>133,将①中的2x代入可得：y<41.5

又A、B、C三类糖果单价是低于50元/千克的整数，故：

若y=41，代入①得x=46.5，不符合题意

若y=40，代入①得x=48，符合题意

若y=39，代入①得x=49.5，不符合题意

若y=38，代入①得x=51，不符合题意

y越小，x越大，故后面x的结果均大于50，不符合题意

故x=48，y=40,108-x-y=20

由上可知：

A类糖果的单价是48元

B类糖果的单价是40元

C类糖果的单价是20元

故分别购买A、B、C三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为：

48×2+40×3+20×4=296（元）

故答案为：296

【点睛】

本题考查一元一次不等式的解法，利用条件建立一元一次不等式并结合题意准确得到A、B、C三类糖果的单价是解本题的关键

10．某同学设计了一个程序：对输入的正整数，首先进行奇偶识别，然后进行对应的计算，如下图所示．如果按1，2，3…的顺序依次逐个输入正整数，则首次输出大于100的的值是__________．

【答案】101

【分析】

根据图示可知此题需要分两种情况讨论：①假设输入正整数x为偶数时，由题意得：；②假设输入的正整数x为奇数时，由题意得：5x-23＞100，分别解出不等式的解集，再确定x的值．

【详解】

解：①假设输入正整数x为偶数时，由题意得：，

解得：x＞22，∵x为偶数，∴x=24，

当x=24时，对应的y=；

②假设输入的正整数x为奇数时，由题意得：5x-23＞100，

解得：x＞24.6，∵x为奇数，∴x=25，

当x=25时，对应的y=5×25-23=102；

∵24＜25，

∴首次大于100时对应的x=24，y=101，

故答案为：101．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是看懂题意与图示，根据题目中的条件列出不等式，注意要分两种情况进行计算．

三、解答题

11．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．

（1）求点C所表示的数；

（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；

（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．

【答案】（1）﹣8；（2）2；（3）1或．

【分析】

（1）根据线段的和差得到，得到，于是得到点所表示的数为；

（2）分三种情况：设运动时间为，则，求得，，根据线段中点的定义得到，，于是得到结论；

（3）根据题意得到表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，知，由知，，从而以点与点位置先后来分类讨论，利用列式求解可得．

【详解】

解：（1），点所表示的数为20，

，

，

，

，

点所表示的数为；

（2）设运动时间为，

当时，点，在点的右侧，则，

，，

，，

点为线段的中点，点为线段的中点，

，，

；

当时，点，在点的左右，，，

点为线段的中点，点为线段的中点，

，，

，

当时，点，在点的左侧，，，

，，

，

综上所述，；

（3）由题意得，表示的数为，表示的数为，

表示的数为，表示的数为，

则，

，

，，

当时，

，，

，

，

解得；

当时，

，，

，

解得；

综上或．

【点睛】

本题考查了两点间的距离，数轴，线段中点的定义，正确的理解题意是解题的关键．

12．为了丰富学生的大课间活动，振海中学到体育用品商店购买篮球和足球，若购买2个篮球和3个足球共需600元，购买3个篮球和1个足球共需550元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？

（2）振海中学决定购买篮球和足球共20个，经商议，体育用品商店决定篮球单价打八折，足球单价不变，若总费用不超过2200元，那么该校最多可以购买多少个篮球？

【答案】（1）篮球每个是150元，足球每个是100元；（2）10个．

【分析】

（1）设篮球每个为元，足球每个为元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；

（2）设购买篮球个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．

【详解】

（1）解：设篮球每个为元，足球每个为元

，解得

答：篮球每个是150元，足球每个是100元．

（2）解：设购买篮球个

解得．

答：最多购买10个篮球．

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，审清题意、找准等量关系列出方程和不等式成为解答本题的关键．

13．书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．

（1）求毛笔和宣纸的单价；

（2）某超市给出以下两种优惠方案：

方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；

方案：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张），选择哪种方案更划算？请说明理由．

【答案】（1）毛笔和宣纸的单价分别为6元和0.4元；（2）当200<a<450时，选择方案A更划算；当a=450时选择方案A和方案B方案一样；当a> 450时选择方案B更划算．

【分析】

（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据购买40支毛笔和100张宣纸需要280元以及购买30支毛笔和200张宣纸需要260元，列二元一次方程组求解即可；

（2）设购买宣纸a（a>200）张，然后分别按两种方案表示出所需费用，然后分类讨论求解即可．

【详解】

解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元

由题意可得：，解得

答：毛笔和宣纸的单价分别为6元和0.4元；

（2）设购买宣纸a（a>200）张

则方案A的费用为：50×6+0.4×（a-50）=0.4a+280（元）

方案B的费用为：50×6+200×0.4+0.4×0.8×（a-200）=0.32a+316

当0.4a+280 <0.32a+316时，解得a<450，则当200<a< 450时选择方案A更划算；

当0.4a+280=0.32a+316时，解得a=450，则当a=450时选择方案A和方案B方案一样；

当0.4a+280 >0.32a+316时,解得a>450,则当a>450时选择方案B更划算．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式的实际运用、二元一次方程组的实际运用，找出题中的等量关系与不等关系是解答本题的关键．

14．在经济双循环的政策导引下，某汽车专卖店新推出A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为54万元；本周已售出2辆型车和1辆B型车，销售额为48万元．

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？

（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号汽车不少于4辆，购车费不超过105万元，有哪几种购车方案？

【答案】（1）每辆A型车售价为18万元、每辆B型车售价为12万元.（2）共有两种方案: 购买4辆A型车2辆B 型车或购买5辆A型车1辆B 型车

【分析】

（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据“上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为54万元；本周已售出2辆型车和1辆B型车，销售额为48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买m辆A型车，则购买（6﹣m）辆B型车，根据“A型号车不少于4辆，购车费不超过105万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各购车方案．

【详解】

解：（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则

，

解得 ．

答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为12万元；

（2）设购买A型车m辆，则购买B型车（6-m）辆，则依题意得

18m+12（6-m）≤105，

解得m≤

又∵m≥4，且m是正整数，

∴m=4或5．

共有二种方案：

方案一：购买4辆A型车和2辆B型车；

方案二：购买5辆A型车和1辆B型车．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．