高中数学高考56第九章 平面解析几何 9 3　圆的方程

§9.3　圆的方程

圆的定义与方程

概念方法微思考

1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？

3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？

4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　 　)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　 　)

(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　 　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　 　)

(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　 　)

题组二　教材改编

2．[P124A组T2]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1   B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

3．[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－3)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

4．[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．

题组三　易错自纠

5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a<1   B．0<a<1

C．a>1或a<－1   D．a＝±4

7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

题型一　圆的方程

例1 (1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A.2＋y2＝   B.2＋y2＝

C.2＋y2＝   D.2＋y2＝

(2)(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为____________．

跟踪训练1 一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为______________________．

题型二　与圆有关的轨迹问题

例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

跟踪训练2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

引申探究

1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．

2．在本例的条件下，求的最大值和最小值．

跟踪训练3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

求：(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最大值和最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

1．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25

3．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

4．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0   B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0

5．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)

A．(x－)2＋(y－1)2＝4 

B．(x－)2＋(y－)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4 

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－3，－1)∪(1,3)   B．(－3,3)

C．[－1,1]   D．[－3，－1]∪[1,3]

7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．

8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.

9．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．

10．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．

11．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x＋y的最大值和最小值．

12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．

14．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则的最大值为________．

15．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2   B.

C.   D.

16．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C的方程．