高中数学高考56第九章 平面解析几何 9 7 抛物线

§9.7　抛物线

1.抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

概念方法微思考

1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？

2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　 　)

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　 　)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　 　)

(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　 　)

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　  　)

题组二　教材改编

2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)

A.9  B.8  C.7  D.6

3.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)

A.2  B.  C.  D.3

4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.

题组三　易错自纠

5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A.4   B.6

C.8   D.12

6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)

A.y2＝±2x   B.y2＝±2x

C.y2＝±4x   D.y2＝±4x

7.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________.

题型一　抛物线的定义和标准方程

命题点1　定义及应用

例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.

引申探究

1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.

2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.

命题点2　求标准方程

例2　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为(　　)

A.y2＝4x或y2＝8x   B.y2＝2x或y2＝8x

C.y2＝4x或y2＝16x   D.y2＝2x或y2＝16x

跟踪训练1 (1)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)

A.n＋10   B.n＋20

C.2n＋10   D.2n＋20

(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为(　　)

A.y2＝x   B.y2＝9x

C.y2＝x   D.y2＝3x

题型二　抛物线的几何性质

例3 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.2

(2)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.2

跟踪训练2 (1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A.18  B.24  C.36  D.48

题型三　直线与抛物线

例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.

跟踪训练3 (2018·抚顺调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.

直线与圆锥曲线问题的求解策略

例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

1.点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)

A.y＝12x2   B.y＝12x2或y＝－36x2

C.y＝－36x2   D.y＝x2或y＝－x2

2.(2018·大连模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)

A.y2＝－12x   B.y2＝－8x

C.y2＝－6x   D.y2＝－4x

3.(2018·辽宁五校联考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)

A.4  B.3  C.4  D.8

4.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于(　　)

A.2  B.4  C.6  D.8

5.(2018·盘锦模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.

6.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)

A.x2＝8y   B.x2＝4y

C.y2＝8x   D.y2＝4x

7.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为____________.

8.(2018·呼伦贝尔质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是等边三角形，则△AFB的边长为________________.

9.已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____________.

10.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.

11.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.则该抛物线的方程为________.

12.(2018·包头模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标.

13.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A.5   B.6

C.   D.

14.过点(0,3)的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则|AF|＋|BF|的值为________.

15.已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.

16.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________.