高中数学高考54第九章 平面解析几何 9 1　直线的方程

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1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴 时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是 ．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝ .
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
概念方法微思考
1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？
2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
题组二 教材改编
2．[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．
题组三 易错自纠
4．(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 ．
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
[0，π)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．
引申探究
1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．
跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于( )
A．1±eq \r(2)或0
B.eq \f(2－\r(5),2)或0
C.eq \f(2±\r(5),2)
D.eq \f(2＋\r(5),2)或0
(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ．
题型二 求直线的方程
例2 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq \f(1,4)；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|取得最小值时直线l的方程．
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0跟踪训练3 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
一、选择题
1．直线eq \r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．(2018·海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
3．已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝eq \r(2－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A．150° B．135° C．120° D．不存在
4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
5．直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则( )
A．M(5,7) B．M(4,5) C．M(2,1) D．M(2,3)
6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(3,4)或k≤－4 B．－4≤k≤eq \f(3,4)
C.eq \f(3,4)≤k≤4 D．－eq \f(3,4)≤k≤4
7．(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
8．已知函数f(x)＝asin x－bcs x(a≠0，b≠0)，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
二、填空题
9．一条直线经过点A(2，－eq \r(3))，并且它的倾斜角等于直线y＝eq \f(1,\r(3))x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 ．
10．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点 ．
11．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．
12．经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 ．
13．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 ．
14．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为 ．
三、解答题
15.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
最新考纲
考情考向分析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.
名称
方程
适用范围
点斜式

不含直线x＝x0
斜截式

不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式


平面直角坐标系内的直线都适用