高中数学高考51第九章 平面解析几何 9 3 圆的方程

§9.3　圆的方程

圆的定义与方程

概念方法微思考

1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？

3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？

4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　 　)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　 　)

(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.(　 　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　 　)

(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(　 　)

题组二　教材改编

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A.(x－1)2＋(y－1)2＝1   B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2   D.(x－1)2＋(y－1)2＝2

3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)

A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1

B.(x－3)2＋(y－1)2＝1

C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

4.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________.

题组三　易错自纠

5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A.(－∞，－)∪(，＋∞)

B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C.(－∞，－)∪(，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

6.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A.－1<a<1   B.0<a<1

C.a>1或a<－1   D.a＝±4

7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

A.(x－2)2＋(y－1)2＝1

B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1

D.(x－3)2＋(y－1)2＝1

题型一　圆的方程

例1 (1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A.2＋y2＝   B.2＋y2＝

C.2＋y2＝   D.2＋y2＝

(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为______________________________.

跟踪训练1 已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________.

题型二　与圆有关的轨迹问题

例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

跟踪训练2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.

题型三　与圆有关的最值问题

例3 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.

引申探究

1.在本例的条件下，求的最大值和最小值.

2.在本例的条件下，求的最大值和最小值.

跟踪训练3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值；

(3)求y－x的最大值和最小值.

1.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

2.已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)

A.x2＋y2＝2   

B.x2＋y2＝

C.x2＋y2＝1   

D.x2＋y2＝4

3.以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A.(x－1)2＋(y－1)2＝5

B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

C.(x－1)2＋y2＝5

D.x2＋(y－1)2＝5

4. (2018·锦州调研)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A.x2＋y2＋10y＝0   

B.x2＋y2－10y＝0

C.x2＋y2＋10x＝0   

D.x2＋y2－10x＝0

5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)

A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4

B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4

C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4

D.(x－2)2＋(y－2)2＝4

6.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)

A.1＋   B.2

C.1＋   D.2＋2

7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________.

8.已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________.

9.若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________.

10.平面内动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________.

11.已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x＋y的最大值和最小值.

12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程.

13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.

14.已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则的最大值为________.

15.圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A.2   B.

C.   D.

16.已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C的方程.