高中数学高考55第九章 平面解析几何 9 6 双曲线

§9.6　双曲线

1.双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的                 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做           ，两焦点间的距离叫做             .

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当          |时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当          时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当          时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

概念方法微思考

1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？

2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？

3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　 　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　 　)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　 　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　 　)

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(　 　)

题组二　教材改编

2.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A.   B.5

C.   D.2

3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)

A.x±y＝0   B.x±y＝0

C.x±2y＝0   D.2x±y＝0

4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

题组三　易错自纠

5.(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A.(－1,3)   B.(－1，)

C.(0,3)   D.(0，)

6.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

7.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________.

题型一　双曲线的定义

例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆    B.双曲线

C.抛物线   D.圆

(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

引申探究

1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

跟踪训练1 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.

题型二　双曲线的标准方程

例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.

(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：

①虚轴长为12，离心率为；

②焦距为26，且经过点M(0,12)；

③经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7).

跟踪训练2 (1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________.

(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

题型三　双曲线的几何性质

命题点1　与渐近线有关的问题

例3　已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y＝0   B.x±y＝0

C.x±2y＝0   D.2x±y＝0

命题点2　求离心率的值(或范围)

例4 已知直线l为双曲线：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，直线l与圆(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B两点，若|AB|＝a，则双曲线C的离心率为________.

跟踪训练3 (2018·锦州模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B.4  C.  D.

高考中离心率问题

离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.

例1 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

例2 已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.2   D.2

1.(2018·鄂尔多斯调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

2.(2018·新余摸底)双曲线－＝1(a≠0)的渐近线方程为(　　)

A.y＝±2x   B.y＝±x

C.y＝±4x   D.y＝±x

3.(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－y2＝1

C.－＝1   D.x2－＝1

4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)

A.2  B.4  C.6  D.8

5.已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为(　　)

A.3  B.2  C.－3  D.－2

6.(2018·沈阳模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)

A.4＋   B.4(1＋)

C.2(＋)   D.＋3

7.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是(　　)

A.32  B.16  C.84  D.4

8.(2018·葫芦岛模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.(1,2)   D.(2，＋∞)

9.(2016·北京)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.

10.(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________.

11.(2018·辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.

12.(2018·福建六校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.

13.(2018·营口调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

14.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于(　　)

A.1   B.

C.   D.

15.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是(　　)

A.2   B.

C.   D.

16.已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________.