微专题强化练(二)　立体几何中的翻折问题

(建议用时：40分钟)

1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论：

①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；

④平面DCF⊥平面BFC．

在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)

A．①③　　　B．②③　　　C．②④　　　D．③④

B　[对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的投影不可能在FC上，所以④不可能成立．故选B．]

2．(多选题)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①)．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②)．在折起的过程中，下列说法中正确的是(　　)

图①　　　　　　　图②

A．AC∥平面BEF

B．B，C，E，F四点不可能共面

C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD

D．平面BCE与平面BEF可能垂直

ABC　[在A中，连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接MO，MF(如图a)，易证明四边形AOMF是平行四边形，即AC∥FM，又AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF，所以A正确；在B中，设B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以B正确；

图(a)　　　　　图(c)

在C中，连接CF，DF(图略)，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，所以EF⊥平面CDF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以C正确；

在D中，延长AF至G，使得AF＝FG，连接 BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N(如图c)，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故D错误．故选ABC．]

3．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．证明：AC＝AB1．

[证明]　如图，连接BC1，交B1C于点O，连接AO．

因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．

又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO．

由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO．

又B1O＝CO，故AC＝AB1．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在边DC上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD′E的位置，使得平面AD′E⊥平面ABCE．

(1)求证：AE⊥BD′；

(2)求三棱锥A­BCD′的体积．

[解]　(1)证明：如图，连接BD交AE于点O，连接OD′．

依题意得＝＝2，

所以Rt△ABD～Rt△DAE，

所以∠ABD＝∠DAE，所以∠AOD＝90°，所以AE⊥BD，

即OB⊥AE，OD′⊥AE，又OB∩OD′＝O，OB⊂平面OBD′，OD′⊂平面OBD′，所以AE⊥平面OBD′．

又BD′⊂平面OBD′，所以AE⊥BD′．

(2)由(1)知，OD′⊥AE，因为平面AD′E⊥平面ABCE，所以OD′⊥平面ABCE，

所以OD′为三棱锥D′­ABC的高，

在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，DE＝1，所以OD′＝OD＝＝，

所以V三棱锥A­BCD′＝V三棱锥D′­ABC＝S△ABC×OD′＝××＝，

故三棱锥A­BCD′的体积为．

5．如图(1)，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC．如图(2)，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置，连接A′B，A′C．

图(1)　　　　　　　图(2)

(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；

(2)给出三个条件：①A′M⊥BC；②二面角A′­MN­C的大小为60°；③A′到平面BCNM的距离为．从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：

在线段A′C上是否存在一点P，使三棱锥A′­PMB的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)证明：由已知得，AM＝1，AN＝2，∠A＝60°．

由余弦定理得，MN＝，∴MN2＋AM2＝AN2，

∴MN⊥AB，

∴MN⊥A′M，MN⊥BM．

又∵MB∩A′M＝M，

∴MN⊥平面A′BM．

∵MN⊂平面BCNM，

∴平面A′BM⊥平面BCNM．

(2)若用条件①A′M⊥BC，

由(1)得，A′M⊥MN，又BC和MN是两条相交直线，

∴A′M⊥平面BCNM，

∴A′M⊥BM．

易得等边三角形ABC的高为，

∴S△A′BM＝A′M·BM＝×1×2＝1，

∴三棱锥A′­BCM的体积为V三棱锥C­A′BM＝S△A′BM·＝＞，

∴在线段A′C上存在点P满足题目条件，

此时＝＝＝．

若用条件②二面角A′­MN­C的大小为60°，

由(1)得，∠A′MB是二面角A′­MN­C的平面角，

∴∠A′MB＝60°，

∴S△A′BM＝A′M·BM·sin 60°＝×1×2×＝．

易得等边三角形ABC的高为，

∴三棱锥A′­BCM的体积为V三棱锥C­A′BM＝S△A′BM·＝，

∴在线段A′C上存在点P满足题目条件，此时点P与点C重合，故＝1．

若用条件③A′到平面BCNM的距离为，

易得等边三角形ABC的高为，

则S△BCM＝BM·＝×2×＝，

则三棱锥A′­BCM的体积为V＝S△BCM·＝××＝＜，

∴此时在线段A′C上不存在满足题目条件的点P．