2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知，，若，则实数等于（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可

【详解】因为，，且，

所以，

解得，

故选：C

2．若直线过两点，，则此直线的倾斜角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小.

【详解】直线过点，

直线的斜率，即直线的倾斜角满足；

，

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.

3．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．

【详解】

连接，可得，又，

所以．

故选：B.

4．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，的周长为，，

又因为椭圆的离心率为，可得，，

又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为.

故选：D.

5．已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.

【详解】解:由题知双曲线,

即,

故焦点坐标为,

渐近线方程为:,

即,

由双曲线的对称性,

不妨取焦点到渐近线的距离,

故焦点到其渐近线的距离为.

故选:B

6．已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据直线过定点，当时弦最短，由互相垂直的直线斜率乘积为，求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案.

【详解】因为直线过定点，

由，则圆心，半径，

当时，弦最短，此时直线的斜率，

所以直线的斜率，

故直线为，则.

故选：A.

7．抛物线的准线方程为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，

又准线方程是，所以，

所以.

故选：C

8．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.

【详解】到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

9．在直三棱柱中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.

【详解】由题意，取中点，建系如图所示的空间直角坐标系，

则,

所以,

所以，

所以与所成角的余弦值为，

故选:C.

10．希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（    ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆 上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．

【详解】设动点 ，由，得 ，

整理得 ，即点P轨迹方程为，表示圆，

又点P是圆上有且仅有的一点

所以两圆相切,圆的圆心坐标为 ，半径为2，

圆的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，

当两圆外切时， ，得 ，

当两圆内切时， ， ，得 ．

故选∶D．

11．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果

【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，

则．

又，所以当四边形的面积最小时，最小．

过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，

当点与坐标原点重合时，最小，此时．

故．

故选：C

12．如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（    ）

A．平面PAB

B．平面平面ABCD

C．点E到平面PAB的距离为

D．二面角的正弦值为

【答案】B

【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D；

【详解】对于A：取的中点为，连接，

因为为的中点，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B：取为，连接所以，且，

又因为是等腰直角三角形，所以，

且平面，且，

所以平面，所以为平面与平面的夹角，

又因为，所以平面，且平面，所以，

，而，所以，故B错误；

对于C：以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，建立如图所示空间直角坐标系，

则

因为 所以，

所以，

所以

设平面的法向量为，

则有即，令 则，

所以，所以点到平面的距离为，故C正确；

对于D：设平面的法向量为，

则有即，令则，

所以，

设二面角的大小为，则，

所以.故D正确.

故选：B

二、填空题

13．已知向量，，则______．

【答案】

【分析】求出向量的坐标，利用空间向量模长公式可求得的值.

【详解】因为向量，，则，

因此，.

故答案为：.

14．两圆与的公共弦所在直线的方程为______.

【答案】

【分析】两圆相减，消去即为答案.

【详解】与相减得：，即为公共弦所在直线的方程.

故答案为：

15．不论为何实数，直线恒过定点_________.

【答案】

【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.

【详解】解：将直线方程转化为，

所以直线过直线与的交点，

所以，联立方程，解得

所以，直线恒过定点

故答案为：

16．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．

【答案】##

【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲线的定义求解得答案．

【详解】如图，

∵直线的倾斜角为，∴，

又，∴，可得为正三角形，

由对称性可得，四边形为矩形，得到，

由双曲线定义可得，，

∴，

故答案为：.

三、解答题

17．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.

(1)写出点，的坐标；

(2)求证：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标；

（2）求出，证明出结论.

【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，.

（2）∵，，

∴，.

即，

∴，

故.

18．已知的顶点．

(1)求边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点B，且在x轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求得边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简；

（2）按直线是否过原点分类讨论．不过原点时设截距式方程求解．

【详解】（1）由已知边中点坐标为，中线斜率为，

中线所在直线方程为，即；

（2）当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即，

直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即，

所以所求直线方程为或．

19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若点也在抛物线上，且，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设抛物线的方程，将点A代入，即可求得抛物线的标准方程；

（2）由，可得直线的方程，代入抛物线方程得到点坐标，再求线段的长.

【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点，则抛物线开口向上，

设抛物线，因为抛物线过点，所以，解得.

所以所求的抛物线方程为；

（2）因为，所以，

由，所以

所以的方程，由解得，

所以，即线段的长为.

20．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.

(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.

(2)

【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；

（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2

当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；

当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，

则圆心到直线的距离为即，解得，

所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.

综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，

圆心到直线l的距离

故所求弦长为：.

21．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．

(1)求线段MN的长；

(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，建立空间直角坐标系分别求得M，N两点坐标，即可求得线段MN的长；（2）利用空间向量在立体几何中的应用，求出与平面PMC的法向量的夹角即可求出结果.

【详解】（1）根据题意，分别以所在直线为轴、轴、轴，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

则

N分别为PC的中点，所以，

易知，所以

（2）易得，

设平面的法向量为

则，令，则；

所以

设直线与平面所成角为，

则，

即PD与平面PMC所成角的正弦值为

22．已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案.

（2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点.

【详解】（1）根据椭圆定义得，，即 ，

，故椭圆的标准方程为．

（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，

则由题意得，将，代入整理得：

（*），

将代入椭圆方程整理得，

需满足 ，则，

代入（*）式得：，

整理得，

当时，过B点，不合题意；

故，直线的方程为，

故此时过定点；

当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，

不妨设，

由可得 ，解得，

此时方程为，也过定点，

综合上述，过定点.

【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况.