2021-2022学年河南省郑州市上街区上街实验高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省郑州市上街区上街实验高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设x∈R，则是 的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解．

【详解】设p：若，则，

q：若，则；

则q表示的集合是p表示的集合真子集，

即是必要不充分条件，

故选：B．

2．若正数a，b满足，则的最小值为（　　）

A．16 B．13 C．20 D．15

【答案】A

【分析】根据，再结合基本不等式求解即可．

【详解】因为正数a，b满足，

则，

当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16．

故选：A．

3．若对于一切实数不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】，不等式恒成立无实数根，利用判别式小于零可得答案．

【详解】∵对于一切实数不等式恒成立，

∴二次函数的图象在轴上方，

∴无实数根，

∴，解得，

故选：A．

4．一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用扇形的弧长公式，列出方程，即可求解.

【详解】设该扇形的圆心角的弧度数为，

因为扇形所在半径为4的扇形，其弧长为1，可得，解得.

故选：C.

5．函数的单调递增区间是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，

令t=，则y=lnt，

∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；

x∈(4,+∞)时,t=为增函数；

y=lnt为增函数，

故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，

故选D.

点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.

当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；

当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.

简称为“同增异减”.

6．函数(且)的图像恒过定点,则点的坐标是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令对数的真数等于,求得 的值,可得它的图像恒过定点的坐标,即可求得答案.

【详解】 函数,(且).

令,解得

当,

函数(且)的图像恒过定点.

故选:A．

【点睛】本题考查了对数函数的图像经过定点问题,解题关键是掌握对数函数定义和函数过定点的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题．

7．命题“”的否定是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得．

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题可得，

所以命题“”的否定是.

故选：A．

8．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据任意角的三角函数的定义求出，，从而代入计算可得；

【详解】解：因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，所以，，

所以

故选：A

9．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；

对于B，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；

对于C，，其定义域为，不符合题意；

对于D，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．

10．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

那么函数一定存在零点的区间是（    ）A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．

【详解】解：因为函数是定义在上的连续函数，且，，

根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点．

故选：A．

【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题．

11．已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可．

【详解】解：若在R上为增函数，则满足，即，得，得，即实数a的取值范围是.

故选：D．

12．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的概念和分式的意义计算即可.

【详解】由题意知，，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：C

13．与为同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，函数与的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A错误；

对于B，函数，与函数的对应法则相同，且定义域均为R，

所以两函数为同一函数，故B正确；

对于C，函数的定义域为，的定义域为R，

两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误；

对于D，函数的定义域为，的定义域为R，

两函数定义域不同，不是同一函数，故D错误.

故选：B.

14．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由指数函数、对数函数的单调性可得，即可得解.

【详解】由题意，，，，

所以.

故选：B.

15．＝（　　）

A．﹣38 B．﹣37 C．﹣39 D．﹣40

【答案】B

【分析】由已知结合指数幂的运算性质及对数的运算性质进行化简即可求解．

【详解】.

故选：B．

16．若，，则等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，故选C.

点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.

二、解答题

17．已知不等式的解集为集合，集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）可得出时，可得出集合，然后进行并集的运算即可；

（2）根据，并且即可得出或，从而可得出的取值范围．

【详解】（1）时，解得，

，且，

∴；

（2）由解得，

，，且，

或，

或，

∴实数的取值范围为或．

18．已知函数是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)用函数单调性定义证明是上的增函数.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)f(x)是R上奇函数，则f(0)＝0，或根据求解m；

(2)分离常数化简f(x)解析式，用定义法研究其单调性即可.

【详解】（1）∵函数是奇函数，

∴，，

，即，.

（2），

设，则，∴.

，∴，∴.

∴，函数在上单调递增.

19．已知函数（且）.

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)当时，求函数的最大值.

【答案】(1)；

(2)偶函数，理由见解析；

(3).

【分析】（1）根据对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域；

（2）判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义可说明结论成立；

（3）利用二次函数的基本性质结合对数函数的单调性可求得函数的最大值.

【详解】（1）解：对于函数，有，解得，故函数的定义域为.

（2）解：函数为偶函数，理由如下：

函数的定义域为，且，

因此，函数为偶函数.

（3）解：当时，，

因为，则，且函数为增函数，

故，即函数的最大值为.

20．已知函数的最大值为1，且图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求：

(1)和的值；

(2)当，求函数的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出和的值；

（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.

【详解】（1）由得

所以，函数的最大值为，得；

即函数；

又因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，

所以，，即.

（2）对于函数，

令，

得，

可得函数的增区间为 ；

故当时，函数的增区间为 .

21．已知函数的部分图象如图.

(1)求函数的解析式;

(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图象由函数最值求得，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式；

（2）根据三角函数图象的变换求得的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

【详解】（1）由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故，                          

周期，，，则，

从而，代入点，得，

则，，即，，

又，则.

.

（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

故可得；

再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象

故可得；

，，

，.

22．已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.

(1)求的解析式，并求距轴最近的一条对称轴的方程；

(2)先列表，再作出函数在区间上的图象.

【答案】(1)，函数的图象距轴最近的一条对称轴的方程为；

(2)答案见解析.

【分析】（1）化简函数的解析式，由结合的取值范围求出的值，利用函数的对称性可求得该函数图象距轴最近的一条对称轴的方程；

（2）由可得，然后利用五点法，通过列表、描点、连线可作出函数在区间上的图象.

【详解】（1）解：

，     

点是函数图象的一个对称中心，

则，，，，

，则，，故，

由得，

令，得函数图象距轴最近的一条对称轴方程为.

（2）解：由（1）知，，当时，，列表如下：

则函数在区间上的图象如图所示.