高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质第2课时学案设计

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类型1 比较对数值的大小
【例1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)lg30.2，lg40.2；
(4)lg3π，lgπ3.
[解] (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以lga3.1当0又3.1<5.2，所以lga3.1>lga5.2.
综上所述，当a>1时，lga3.1当0lga5.2.
(3)因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)(4)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，
所以lg3π>lg33＝1.
同理，1＝lgππ>lgπ3，所以lg3π>lgπ3.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列式子中成立的是( )
A．lg0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3D．lg76D [因为y＝lg0.4x为减函数，故lg0.44>lg0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错．]
2．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) eq \f(1,3)，则( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>b>aD．c>a>b
D [∵0 eq lg\s\d5(\f(1,2)) eq \f(1,2)＝1，∴c>a>b.故选D.]
类型2 求解对数不等式
【例2】 解不等式：
(1)lg2(2x＋3)≥lg2(5x－6)；
(2)lga(x－4)－lga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3≥5x－6，))解得eq \f(6,5)(2)原不等式化为lga(x－4)>lga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4>0，,2x－1>0，,x－4>2x－1，))无解．
当00，,2x－1>0，,x－4<2x－1，))解得x>4.
综上可知，当a>1时，解集为∅；当04}．
常见对数不等式的2种解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．不等式 eq lg\s\d5(\f(1,3)) (5＋x)< eq lg\s\d5(\f(1,3)) (1－x)的解集为________．
(－2,1) [因为函数y＝ eq lg\s\d5(\f(1,3)) x在(0，＋∞)上是减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋x>0，,1－x>0，,5＋x>1－x，))解得－24．若lga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞) [由题意知lga(3a－1)>0＝lga1.
当a>1时，y＝lgax是增函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1>1，,3a－1>0，))解得a>eq \f(2,3)，∴a>1；
当0∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<1，,3a－1>0，))解得eq \f(1,3)∴eq \f(1,3)综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．]
类型3 对数型函数的单调性
【例3】 求函数f(x)＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x2－2x－3)的单调区间．
[解] 设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) t在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．
1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝lgaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(lgax)(a>0，且a≠1)型．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5．若y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2，＋∞) [由y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.]
6．已知f(x)＝lg4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．
[解] (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此lg4(4x1－1)故f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上递增，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝lg415，
因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，lg415].
1．已知a＝lg23.4，b＝lg43.6，c＝lg30.3，则( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．a>c>bD．c>a>b
A [因为a＝lg23.4>1,0b>c，故选A.]
2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7]B．(2,7]
C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)
B [∵lg(2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得23．设a>1，函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，则a＝
( )
A．eq \r(2)B．2
C．2eq \r(2)D．4
D [因为a>1，所以y＝lgax在[a,2a]上是增函数．
所以lga(2a)－lgaa＝eq \f(1,2)，
即lga2＝eq \f(1,2)，所以a＝2，解得a＝4.]
4．函数f(x)＝lg5(2x＋1)的单调增区间是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) [因为y＝lg5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝lg5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).]
5．函数y＝2x－ eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x＋1)在区间[0,1]上的最大值为_______，最小值为_______．
3 1 [因为y＝2x在[0,1]上是增函数，y＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x＋1)在[0,1]上是减函数，所以y＝f(x)＝2x－ eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x＋1)在[0,1]上是增函数，所以y的最大值为f(1)＝21－ eq lg\s\d5(\f(1,2)) 2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－ eq lg\s\d5(\f(1,2)) 1＝1－0＝1.]