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    北师版高中数学必修第一册第4章§3 第2课时对数函数图象及性质的应用学案
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质第2课时学案设计

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质第2课时学案设计,共5页。

    类型1 比较对数值的大小
    【例1】 比较下列各组中两个值的大小:
    (1)ln 0.3,ln 2;
    (2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);
    (3)lg30.2,lg40.2;
    (4)lg3π,lgπ3.
    [解] (1)因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3(2)当a>1时,函数y=lgax在(0,+∞)上是增函数,
    又3.1<5.2,所以lga3.1当0又3.1<5.2,所以lga3.1>lga5.2.
    综上所述,当a>1时,lga3.1当0lga5.2.
    (3)因为0>lg0.23>lg0.24,所以eq \f(1,lg0.23)(4)因为函数y=lg3x是增函数,且π>3,
    所以lg3π>lg33=1.
    同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
    比较对数值大小时常用的4种方法
    (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
    (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
    (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较.
    (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
    eq \a\vs4\al([跟进训练])
    1.下列式子中成立的是( )
    A.lg0.441.013.5
    C.3.50.3<3.40.3D.lg76D [因为y=lg0.4x为减函数,故lg0.44>lg0.46,故A错;因为y=1.01x为增函数,所以1.013.4<1.013.5,故B错;由指数函数图象特点知,3.50.3>3.40.3,故C错.]
    2.已知a=2,b=lg2eq \f(1,3),c= eq lg\s\d5(\f(1,2)) eq \f(1,3),则( )
    A.a>b>cB.a>c>b
    C.c>b>aD.c>a>b
    D [∵0 eq lg\s\d5(\f(1,2)) eq \f(1,2)=1,∴c>a>b.故选D.]
    类型2 求解对数不等式
    【例2】 解不等式:
    (1)lg2(2x+3)≥lg2(5x-6);
    (2)lga(x-4)-lga(2x-1)>0(a>0且a≠1).
    [解] (1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+3>0,,5x-6>0,,2x+3≥5x-6,))解得eq \f(6,5)(2)原不等式化为lga(x-4)>lga(2x-1).
    当a>1时,不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-4>0,,2x-1>0,,x-4>2x-1,))无解.
    当00,,2x-1>0,,x-4<2x-1,))解得x>4.
    综上可知,当a>1时,解集为∅;当04}.
    常见对数不等式的2种解法
    (1)形如lgax>lgab的不等式,借助y=lgax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=lgax的单调性求解.
    eq \a\vs4\al([跟进训练])
    3.不等式 eq lg\s\d5(\f(1,3)) (5+x)< eq lg\s\d5(\f(1,3)) (1-x)的解集为________.
    (-2,1) [因为函数y= eq lg\s\d5(\f(1,3)) x在(0,+∞)上是减函数,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5+x>0,,1-x>0,,5+x>1-x,))解得-24.若lga(3a-1)恒为正,则a的取值范围为________.
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(2,3)))∪(1,+∞) [由题意知lga(3a-1)>0=lga1.
    当a>1时,y=lgax是增函数,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a-1>1,,3a-1>0,))解得a>eq \f(2,3),∴a>1;
    当0∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a-1<1,,3a-1>0,))解得eq \f(1,3)∴eq \f(1,3)综上所述,a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(2,3)))∪(1,+∞).]
    类型3 对数型函数的单调性
    【例3】 求函数f(x)= eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x2-2x-3)的单调区间.
    [解] 设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x-1)2-4在(3,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,又y= eq lg\s\d5(\f(1,2)) t在定义域内单调递减,因而函数f(x)= eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x2-2x-3)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,+∞).
    1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域.
    2.对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y=lgaf(x)(a>0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(lgax)(a>0,且a≠1)型.
    eq \a\vs4\al([跟进训练])
    5.若y=lg(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为________.
    (2,+∞) [由y=lg(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,所以2a-3>1,解得a>2.]
    6.已知f(x)=lg4(4x-1).
    (1)求f(x)的定义域;
    (2)讨论f(x)的单调性;
    (3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上的值域.
    [解] (1)由4x-1>0,解得x>0,
    因此f(x)的定义域为(0,+∞).
    (2)设0因此lg4(4x1-1)故f(x)在(0,+∞)上递增.
    (3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上递增,
    又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0,f(2)=lg415,
    因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上的值域为[0,lg415].
    1.已知a=lg23.4,b=lg43.6,c=lg30.3,则( )
    A.a>b>cB.b>a>c
    C.a>c>bD.c>a>b
    A [因为a=lg23.4>1,0b>c,故选A.]
    2.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是( )
    A.(-∞,7]B.(2,7]
    C.[7,+∞)D.(2,+∞)
    B [∵lg(2x-4)≤1,∴0<2x-4≤10,解得23.设a>1,函数f(x)=lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2),则a=
    ( )
    A.eq \r(2)B.2
    C.2eq \r(2)D.4
    D [因为a>1,所以y=lgax在[a,2a]上是增函数.
    所以lga(2a)-lgaa=eq \f(1,2),
    即lga2=eq \f(1,2),所以a=2,解得a=4.]
    4.函数f(x)=lg5(2x+1)的单调增区间是________.
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),+∞)) [因为y=lg5x与y=2x+1均为增函数,故函数f(x)=lg5(2x+1)是其定义域上的增函数,所以函数f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),+∞)).]
    5.函数y=2x- eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x+1)在区间[0,1]上的最大值为_______,最小值为_______.
    3 1 [因为y=2x在[0,1]上是增函数,y= eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x+1)在[0,1]上是减函数,所以y=f(x)=2x- eq lg\s\d5(\f(1,2)) (x+1)在[0,1]上是增函数,所以y的最大值为f(1)=21- eq lg\s\d5(\f(1,2)) 2=2-(-1)=3,最小值为f(0)=20- eq lg\s\d5(\f(1,2)) 1=1-0=1.]
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