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    北师版高中数学必修第一册第4章§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案
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    北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案设计

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案设计,共7页。

    §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异.理解对数增长”“直线上升”“指数爆炸等术语的现实含义.(重点、难点)

    1.通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养.

    2.通过三种函数增长快慢的比较,培养直观想象素养.

    1a>1时,函数yax的增长速度与a的大小有什么关系?

    2a>1时,函数ylogax的增长速度与a的大小有什么关系?

    3x>0n>1时,函数yxn的增长速度与n的大小有什么关系?

    1三种函数的增长趋势

     

    yax(a>1)

    ylogax(a>0)

    yxα(α>0)

    (0,+)

    上的增减性

    增函数

    图象的变

    化趋势

    x增大,近似与y轴平行

    x增大,近似与x轴平行

    α值较小(α<1),增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快

    增长速度

    x增大,yax增长速度越来越快,并且当a越大时,yax增长的速度越快

    x增大,ylogax增长速度越来越慢,并且当a越大时,ylogax增长速度越慢

    x足够大时,一定有ax>xα>logax

    2.当底数a>1时,由于指数函数yax的值增长非常快,人们称这种现象为指数爆炸”.

    举例说明指数爆炸增长的含义.

    [提示] 1个细胞分裂x次后的数量为y2x,此为指数增长,其增长量是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现爆炸的效果.

    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)线性函数模型ykxb(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(  )

    (2)指数函数模型yax(a>1)的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越快.(  )

    (3)对数函数模型ylogax(a>1)的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.(  )

    [答案] (1) (2) (3)

    2.下图反映的函数的增长趋势是(  )

    A.一次函数 B.幂函数

    C.对数函数 D.指数函数

    C [从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.]

    3.四个变量y1y2y3y4随变量x变化的数据如下表:

    x

    1

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    y1

    2

    26

    101

    226

    401

    626

    901

    y2

    2

    32

    1 024

    32 768

    1.05×106

    3.36×107

    1.07×109

    y3

    2

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    y4

    2

    4.322

    5.322

    5.907

    6.322

    6.644

    6.907

    关于x呈指数型函数变化的变量是________

    y2 [以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1y2y3y4均是从2开始变化,变量y1y2y3y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数变化.]

    类型1 指数函数、对数函数、幂函数图象的比较

    1】 函数f(x)2xg(x)x3的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1y1)B(x2y2),且x1<x2.

    (1)请指出示意图中曲线C1C2分别对应哪一个函数;

    (2)结合函数图象,比较f(8)g(8)f(2 020)g(2 020)的大小.

    [] (1)C1对应的函数为g(x)x3C2对应的函数为f(x)2x.

    (2)g(1)1f(1)2g(2)8f(2)4g(9)729f(9)512g(10)1 000f(10)1 024

    f(1)>g(1)f(2)<g(2)f(9)<g(9)f(10)>g(10)

    1<x1<2,9<x2<10.

    x1<8<x2<2 020.

    从图象上知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x)

    x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)(0,+)上是增函数,

    f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8)

    底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数,增长的快慢交替出现,从这个实例我们可以体会到幂函数增长,指数爆炸等不同函数模型增大的含义.

    1.四个函数在第一象限中的图象如图所示,abcd所表示的函数可能是(  )

    Aay2xbyx2cydy2x

    Bayx2by2xcy2xdy

    Cayx2by2xcydy2x

    Day2xbyx2cy2xdy

    C [ac对应的是幂函数,a的指数大于1c的指数大于0小于1bd对应的函数是指数函数,且b中的底数大于1d中的底数大于0小于1.]

    类型2 几类函数模型增长差异的比较

    2】 已知三个变量y1y2y3随变量x变化的数据如下表:

    x

    1

    2

    4

    6

    8

    y1

    2

    4

    16

    64

    256

    y2

    1

    4

    16

    36

    64

    y3

    0

    1

    2

    2.585

    3

    则反映y1y2y3x变化情况拟合较好的一组函数模型是(  )

    Ay1x2y22xy3log2x

    By12xy2x2y3log2x

    Cy1log2xy2x2y32x

    Dy12xy2log2xy3x2

    B [从题中表格可以看出,三个变量y1y2y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化.]

    常见的函数模型及增长特点

    (1)线性函数模型

    线性函数模型ykxb(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

    (2)指数函数模型

    指数函数模型yax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为指数爆炸”.

    (3)对数函数模型

    对数函数模型ylogax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.

    (4)幂函数模型

    幂函数yxn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.

     

     

    2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)x2f2(x)2xf3(x)log2xf4(x)2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是(  )

    Af1(x)x2 Bf2(x)2x

    Cf3(x)log2x Df4(x)2x

    D [由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大.故选D.]

    类型3 函数模型的构建

    3】 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:

    方案一:每天回报40元;

    方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;

    方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.

    请问,你会选择哪种投资方案?

    [] 设第x天所得回报是y元.

    由题意,方案一:y40(xN)

    方案二:y10x(xN)

    方案三:y0.4×2x1(xN)

    作出三个函数的图象如图:

    由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四天,方案一、二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,经验证到第三十天,所得回报已超过2亿元,

    若是短期投资可选择方案一或方案二,长期的投资则选择方案三.

    通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.

     天数

    累积收益

    方案   

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    40

    80

    120

    160

    200

    240

    280

    320

    360

    400

    440

    10

    30

    60

    100

    150

    210

    280

    360

    450

    550

    660

    0.4

    1.2

    2.8

    6

    12.4

    25.2

    50.8

    102

    204.4

    409.2

    818.8

    投资一天到六天,应选方案一,投资七天方案一、二均可,投资八天到十天应选方案二,投资十一天及其以上,应选方案三.

    函数模型构建的一般步骤

    (1)收集数据.

    (2)根据收集到的数据,在平面直角坐标系内画出散点图.

    (3)根据点的分布特征,选择一个能刻画散点图特征的函数模型.

    (4)选择其中的几组数据求出函数模型.

    (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验,看其是否符合实际,若不符合实际,则返回步骤(3);若符合实际,则进入下一步.

    (6)用所得函数模型分析实际问题.

    3.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:

    x

    2.00

    1.00

    0

    1.00

    2.00

    3.00

    y

    0.24

    0.51

    1

    2.02

    3.98

    8.02

    xy的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中ab为待定系数)(  )

    Ayabx Byabx

    Cyax2b Dya

    B [在坐标系中描出各点,知模拟函数为yabx.]

    1思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)x>1时,yx2y2x增长得更快.(  )

    (2)存在x0,使得当a>1n>0x>x0时,logax<xn<ax成立.(  )

    (3)函数yx衰减的速度越来越慢.(  )

    [答案] (1)× (2) (3) 

    2.下列函数中,增长速度越来越慢的是(  )

    Ay6x Bylog6x

    Cyx6 Dy6x

    B [D中一次函数的增长速度不变,AC中函数的增长速度越来越快,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.]

    3.以下四种说法中,正确的是(  )

    A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

    B.对任意的x>0xn>logax

    C.对任意的x>0ax>logax

    D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax

    D [对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于BC,当0<a<1时,显然不成立.当a>1n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件a>1n>0,则结论不一定成立.]

    4.已知函数f(x)3xg(x)2x,当xR时,f(x)g(x)的大小关系为_____

    f(x)>g(x) [在同一直角坐标系中画出函数f(x)3xg(x)2x的图象,如图所示,

    由于函数f(x)3x的图象始终在函数g(x)2x图象的上方,则f(x)>g(x)]

    5.当x>4时,a4xblog4xcx4的大小关系是________

    b<c<a [三个已知函数按增长速度由慢到快排列为ylog4xyx4y4x,当x4时,blog441ac44

    所以abc的大小关系是b<c<a.]

    *§5 信息技术支持的函数研究()

     

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