江西省吉安市峡江县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市峡江县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江西省吉安市峡江县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A．菱形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．等腰梯形
2．（3分）若一元二次方程的两根为，，则的值是　　
A．4 B．2 C．1 D．
3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　

A． B． C． D．
4．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度为　　

A． B． C． D．
5．（3分）如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的处，则平移后的抛物线解析式是　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，等边三角形的边长为4，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知，均为锐角，且满足，则　　．
8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点坐标是　 　．
9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 　　名学生．
10．（3分）如图，菱形中，，于点，且，连接，则的度数为　 　度．

11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为　 　．

12．（3分）如图，矩形中，，，点是的中点，点在上，，是矩形上一动点．若点从点出发，沿的路线运动，当时，的长为　　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
14．（6分）如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．

15．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，两点，点在第四象限，轴，．
（1）求的值及点坐标；
（2）求的面积．

16．（6分）如图，在矩形中，点为的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在上找点，使点是的中点；
（2）如图2，在上取两点，，使，是的三等分点．

17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知如图，在中，平分交于点，点在上，且；
（1）求证：；
（2）求证：．

19．（8分）如图，，点，分别在，上，连接，、的平分线交于点，、的平分线交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过作，分别交，于点，，过作，分别交，于点，，得到四边形，此时，他猜想四边形是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．

20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口到达迷宫口有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口到达处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．
（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口到达处所走的所有可能路线；
（2）求小聪同学从迷宫口到达处经过路口的概率．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

22．（9分）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如，，，．请解答下列问题：
（1）　　；
（2）如果，，求的取值范围；
（3）如果，，求的值．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，抛物线经过点，点，轴于点，连接，等腰直角三角形的斜边在轴上，点的坐标为，点与原点重合
（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
（2）以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向移动，运动时间为秒，当点落在边上时停止运动，设与的重叠部分的面积为，求出关于的函数关系式；
（3）点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点坐标．


2021-2022学年江西省吉安市峡江县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A．菱形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．等腰梯形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2．（3分）若一元二次方程的两根为，，则的值是　　
A．4 B．2 C．1 D．
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
能让灯泡发光的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
4．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度为　　

A． B． C． D．
【分析】利用平行得出三角形相似，运用相似比即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
经检验：是原方程的根．
故选：．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，根据已知得出是解决问题的关键．
5．（3分）如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的处，则平移后的抛物线解析式是　　

A． B． C． D．
【分析】首先根据点所在位置设出点坐标为再根据，利用勾股定理求出的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
【解答】解：在直线上，
设，
，
，
解得：舍去），
，
，
平移后的抛物线解析式为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．
6．（3分）如图，等边三角形的边长为4，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【解答】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，

，即，
而，即，
，
在和中
，
，
，，所以①正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；所以②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，所以④正确．
故选：．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知，均为锐角，且满足，则　　．
【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出，，再结合特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：，
，，
，，
，，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点坐标是　　．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
另一个交点的坐标与点关于原点对称，
该点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 　40　名学生．
【分析】设九（1）班有名学生，则每名学生需送出张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量人数每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设九（1）班有名学生，则每名学生需送出张新年贺卡，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
九（1）班有40名学生．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，菱形中，，于点，且，连接，则的度数为　15　度．

【分析】利用菱形的性质得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出的度数，进而得出答案．
【解答】解：菱形中，，，
，，，
于点，
，
，
菱形中，，
，
的度数为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出是解题关键．
11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为　38　．

【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；
由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有一个小正方体；
主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．
的值可能为：，，，，，，
则的所有可能的值之和．
故本题答案为：38．
【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
12．（3分）如图，矩形中，，，点是的中点，点在上，，是矩形上一动点．若点从点出发，沿的路线运动，当时，的长为　4或8或　．

【分析】如图，连接，，，取的中点，连接、．以为圆心画交于．只要证明，即可推出，，解决问题．
【解答】解：如图，连接，，，取的中点，连接、．以为圆心的长度为半径，画交于．

四边形是矩形，
，
，，，，
，
，
易知，
是等边三角形，
，
，，，
故答案为4或8或．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）两边直接开平方，继而得到两个关于的一元一次方程，解之即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1），
或，
解得，；
（2），
，
则，
或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．（6分）如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，由已知得出，由证明即可；
（2）证出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
四边形是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
15．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，两点，点在第四象限，轴，．
（1）求的值及点坐标；
（2）求的面积．

【分析】（1）先把代入中求出得到；再把点坐标代入中可确定的值，然后利用反比例函数和正比例函数图象的性质确定点坐标；
（2）设，根据两点间的距离公式和勾股定理得到，求出得到，从而得到的长，然后关键三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）把代入得，则；
把代入得，
点与点关于原点对称，
；
（2）轴，
点的横坐标为1，
设，
．
，
即，
解得，
，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
16．（6分）如图，在矩形中，点为的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在上找点，使点是的中点；
（2）如图2，在上取两点，，使，是的三等分点．

【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可；
（2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1，连接、交于点，
延长交于，
则点即为所求；
（2）如图2，交于，延长交于，
连接交于，连接交于，
则、即为所求．

【点评】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，

【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出的长．
【解答】解：如图所示：连接，由题意可得：，，，，
在直角中，．
在直角中，．
答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．

【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知如图，在中，平分交于点，点在上，且；
（1）求证：；
（2）求证：．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由，得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由，推出，等量代换得到，证得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）平分，
，
，
，
，
；

（2），
，
，
，
，
，
，
即．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．
19．（8分）如图，，点，分别在，上，连接，、的平分线交于点，、的平分线交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过作，分别交，于点，，过作，分别交，于点，，得到四边形，此时，他猜想四边形是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．

【分析】（1）根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形的四个内角均为，进而可说明其为矩形．
（2）根据题目条件可得四边形为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接，由于，要证，只需证，只需证四边形为平行四边形，可证、点分别为、中点，即可得出结果．
【解答】（1）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
平分，
平分，
，，
点、、在同一条直线上，
，即，
，
即，
四边形是矩形

（2）解：他的猜想正确，
理由是：
，，
四边形为平行四边形．
如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
同理可得，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形为菱形．

【点评】本题考查矩形、菱形的性质与判定，属于综合题，熟练掌握菱形和矩形的性质及判定方法是解题关键．
20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口到达迷宫口有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口到达处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．
（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口到达处所走的所有可能路线；
（2）求小聪同学从迷宫口到达处经过路口的概率．

【分析】（1）根据题意得出小聪同学从迷宫口到达处所走的所有可能路线共有4种；
（2）根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：

小聪同学从迷宫口到达处所走的所有可能路线共有4种；

（2）一共有4种情况，而过的有3种，
故小聪同学从迷宫口到达处经过路口的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

【分析】（1）将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得，即可求解；
（3）由题意得，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
，故当时，随的增大而增大，而，
当时，有最大值，此时，，
故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：，
解得：，
又，
则的最小值为，
每天的销售量最少应为20件．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
22．（9分）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如，，，．请解答下列问题：
（1）　　；
（2）如果，，求的取值范围；
（3）如果，，求的值．
【分析】（1）根据定义即可得；
（2）由已知等式知，解之可得；
（3）分和两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1），
．
故答案为：；

（2），，
．
．
的取值范围是．

（3）由题意，得：．
①若，即时，，，．
，，
．
解得符合题意；
②若，即时，，，．
，，
．
解得符合题意．
综上所述，或．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义，并根据新定义列出关于的不等式及分类讨论思想的运用．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，抛物线经过点，点，轴于点，连接，等腰直角三角形的斜边在轴上，点的坐标为，点与原点重合
（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
（2）以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向移动，运动时间为秒，当点落在边上时停止运动，设与的重叠部分的面积为，求出关于的函数关系式；
（3）点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点坐标．

【分析】（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；
（2）从三种情况分析①当时，与重叠部分为等腰直角三角形；②当时，与重叠部分是四边形；③当时，与重叠部分是四边形得出关于的函数关系式即可；
（3）直接写出当是直角三角形时符合条件的点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，，
抛物线解析式是，
对称轴是直线；
（2）有3种情况：
①当时，与重叠部分为等腰直角三角形，如图

；
②当时，与重叠部分是四边形，如图

；
③当时，与重叠部分是四边形，如图

；
（3）当是直角三角形时，可得符合条件的点坐标为或或或．
【点评】此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据，，三种情况进行分析．