人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案

【新教材】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式   （人教A版）

1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 

3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;

难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．

一、 预习导入

阅读课本50-52页，填写。

1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.

(1)解ax2+bx+c=0；

(2)判断开口方向；

(3)根据开口方向和两根画草图；

(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；

不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.

1. 不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C． D．

2. 不等式的解集是（   ）

A． B．

C． D．

3. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ）

A．或 B．或

C． D．

题型一    解不等式

例1 求下列不等式的解集

（1）

（2）

（3）

跟踪训练一

1、求下列不等式的解集

（1）；

（2）；

（3）

（4）

题型二   一元二次不等式恒成立问题

例2　(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．

(2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． 

C．或 D．或

跟踪训练二

1．已知不等式的解集为或，则实数__________.

2. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．

题型三    一元二次不等式的实际应用问题

例3 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：

.

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

跟踪训练三

1.用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？

1．不等式的解集是

A． B．

C． D．

2．已知集合，，则有（   ）

A． B． C． D．

3．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（    ）

A．或 B．

C． D．

4．不等式的解集是_________________

5．关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是 _______.

6．已知．

（1）若，解不等式；

（2）若，解不等式．

7．已知不等式的解集为.

(Ⅰ)若，求集合；

(Ⅱ)若集合是集合的子集，求实数a的取值范围.

答案

小试牛刀

1-3．DBC

自主探究

例1

【答案】（1）      （2）          （3）

跟踪训练一

【答案】（1）         （2）           

（3）                  （4）

例2　

【答案】（1）       （2）A

【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，

得，，消去得，解该不等式得，

因此，不等式的解集为，

故答案为：.

（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；

当时，若不等式对任意恒成立，

则，解得；

当时，不等式不能对任意恒成立。

综上，的取值范围是.

.

跟踪训练二

【答案】1、6      2、

【解析】1、由题意可知，3为方程的两根，

则，即.故答案为：6

2、①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意

②当，即时，不等式恒成立则需：

，解得：

综上所述：

例3

【答案】见解析

【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得

                                      .

移项整理，得

.

对于方程，=100>0，方程有两个实数根=50，=60.

画出二次函数y=的图像，结合图象得不等式的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为

{x|50<x<60}.

因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.

跟踪训练三

1.【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.

【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为，总面积

，，当时，．

答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.

当堂检测 

1-3． BAC

4．

5．

6．【答案】(1) 或．(2)

【解析】（1）当，不等式即，即，

解得，或，

故不等式的解集为或．

（2）若，不等式为，即，

∵，

∴当时， ，不等式的解集为；

当时，，不等式即，它的解集为；

当时，，不等式的解集为．

7. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)当时，由 ，

得解得

所以

(Ⅱ)因为可得，

又因为集合是集合的子集，所以可得，(当 时不符合题意，舍去)

所以

综上所述.